Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdindp1 37530
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
mapdindp1.p + = (+g𝑊)
mapdindp1.o 0 = (0g𝑊)
mapdindp1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
mapdindp1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
mapdindp1.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.W (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.e (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdindp1.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdindp1.f (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
mapdindp1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))

Proof of Theorem mapdindp1
StepHypRef Expression
1 mapdindp1.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2 eldifsni 4458 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋0 )
4 mapdindp1.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lveclmod 19319 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 mapdindp1.o . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑊)
8 mapdindp1.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
97, 8lspsn0 19221 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
106, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
1110eqeq2d 2781 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = { 0 }))
121eldifad 3735 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
13 mapdindp1.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
1413, 7, 8lspsneq0 19225 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
156, 12, 14syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
1611, 15bitrd 268 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }) ↔ 𝑋 = 0 ))
1716necon3bid 2987 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{ 0 }) ↔ 𝑋0 ))
183, 17mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{ 0 }))
1918adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{ 0 }))
20 sneq 4327 . . . . 5 ((𝑌 + 𝑍) = 0 → {(𝑌 + 𝑍)} = { 0 })
2120fveq2d 6337 . . . 4 ((𝑌 + 𝑍) = 0 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{ 0 }))
2221adantl 467 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{ 0 }))
2319, 22neeqtrrd 3017 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
24 mapdindp1.ne . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2524adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
26 mapdindp1.p . . . 4 + = (+g𝑊)
274adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
281adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
29 mapdindp1.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3029adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
31 mapdindp1.z . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3231adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
33 mapdindp1.W . . . . 5 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3433adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35 mapdindp1.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
3635adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
37 mapdindp1.f . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
3837adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
39 simpr 471 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 )
4013, 26, 7, 8, 27, 28, 30, 32, 34, 36, 25, 38, 39mapdindp0 37529 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑌}))
4125, 40neeqtrrd 3017 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
4223, 41pm2.61dane 3030 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cdif 3720  {csn 4317  {cpr 4319  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308  LModclmod 19073  LSpanclspn 19184  LVecclvec 19315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316
This theorem is referenced by:  mapdh6dN  37549  mapdh6hN  37553  hdmap1l6d  37623  hdmap1l6h  37627
  Copyright terms: Public domain W3C validator