Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh9a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh9a 37577
Description: Lemma for part (9) in [Baer] p. 48. TODO: why is this 50% larger than mapdh9aOLDN 37578? (Contributed by NM, 14-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s = (-g𝑈)
mapdh8a.o 0 = (0g𝑈)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh8a.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh8a.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdh8h.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh8h.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh9a.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh9a.t (𝜑𝑇𝑉)
Assertion
Ref Expression
mapdh9a (𝜑 → ∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
Distinct variable groups:   𝑥,,   0 ,,𝑥   𝐶,   𝐷,,𝑥   ,𝐹,𝑥   ,𝐼   ,𝐽,𝑥   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥   𝜑,   𝑅,,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,,𝑥   𝑈,   ,𝑋,𝑥   𝑥,𝐼   ,𝑉   𝑦,𝑧,𝐷   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝑦, 0 ,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧   𝑧,𝑈   𝑦,𝑉,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑧,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑄(𝑦,𝑧,)   𝑅(𝑦,𝑧)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,)   𝐽(𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,)   𝑀(𝑦,𝑧)   (𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,)

Proof of Theorem mapdh9a
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh8a.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh8a.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 mapdh8a.s . . . . . . 7 = (-g𝑈)
5 mapdh8a.o . . . . . . 7 0 = (0g𝑈)
6 mapdh8a.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 mapdh8a.c . . . . . . 7 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdh8a.d . . . . . . 7 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 mapdh8a.r . . . . . . 7 𝑅 = (-g𝐶)
10 mapdh8a.q . . . . . . 7 𝑄 = (0g𝐶)
11 mapdh8a.j . . . . . . 7 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 mapdh8a.m . . . . . . 7 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 mapdh8a.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
14 mapdh8a.k . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15143ad2ant1 1128 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑉𝑤𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 mapdh8h.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝐷)
17163ad2ant1 1128 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑉𝑤𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝐹𝐷)
18 mapdh8h.mn . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
19183ad2ant1 1128 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑉𝑤𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
20 mapdh9a.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21203ad2ant1 1128 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑉𝑤𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22 simp3ll 1311 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑉𝑤𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
23 simp3rl 1313 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑉𝑤𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
24 simplrl 819 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
25243ad2ant3 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑉𝑤𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
2625necomd 2983 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑉𝑤𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑧}))
27 simprrl 823 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
28273ad2ant3 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑉𝑤𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
2928necomd 2983 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑉𝑤𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
30 simplrr 820 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
31303ad2ant3 1130 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑉𝑤𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
32 simprrr 824 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
33323ad2ant3 1130 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑉𝑤𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
34 mapdh9a.t . . . . . . . 8 (𝜑𝑇𝑉)
35343ad2ant1 1128 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑉𝑤𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑇𝑉)
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 31, 33, 35mapdh8 37576 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑉𝑤𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩))
37363exp 1113 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑧𝑉𝑤𝑉) → (((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩))))
3837ralrimivv 3104 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧𝑉𝑤𝑉 (((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩)))
3920eldifad 3723 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
401, 2, 3, 6, 14, 39, 34dvh3dim 37233 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
41 eqid 2756 . . . . . . . . . . 11 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
421, 2, 14dvhlmod 36897 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
4342ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LMod)
443, 41, 6, 42, 39, 34lspprcl 19176 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4544ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
46 simplr 809 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑧𝑉)
47 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
483, 5, 41, 43, 45, 46, 47lssneln0 19150 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
491, 2, 14dvhlvec 36896 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
5049ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LVec)
5139ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑋𝑉)
5234ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑇𝑉)
533, 6, 50, 46, 51, 52, 47lspindpi 19330 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
5448, 53jca 555 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))))
5554ex 449 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑉) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))))
5655reximdva 3151 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → ∃𝑧𝑉 (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))))
5740, 56mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))))
5814ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5916ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))) → 𝐹𝐷)
6018ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
6120ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
62 simplr 809 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))) → 𝑧𝑉)
63 simprrl 823 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
6463necomd 2983 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑧}))
6510, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 58, 59, 60, 61, 62, 64mapdhcl 37514 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) ∈ 𝐷)
66 eqidd 2757 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩))
67 simprl 811 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6810, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 58, 59, 60, 61, 67, 65, 64mapdheq 37515 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑧})) = (𝐽‘{(𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩)}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑧)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩))}))))
6966, 68mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))) → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑧})) = (𝐽‘{(𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩)}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑧)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩))})))
7069simpld 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑧})) = (𝐽‘{(𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩)}))
7134ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))) → 𝑇𝑉)
72 simprrr 824 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
7310, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 58, 65, 70, 67, 71, 72mapdhcl 37514 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷)
7473ex 449 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑉) → ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷))
7574ancld 577 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝑉) → ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) → ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷)))
7675reximdva 3151 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑧𝑉 (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) → ∃𝑧𝑉 ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷)))
7757, 76mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷))
78 eleq1w 2818 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })))
79 sneq 4327 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → {𝑧} = {𝑤})
8079fveq2d 6352 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝑁‘{𝑧}) = (𝑁‘{𝑤}))
8180neeq1d 2987 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ↔ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋})))
8280neeq1d 2987 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}) ↔ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
8381, 82anbi12d 749 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) ↔ ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))))
8478, 83anbi12d 749 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ↔ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))))
85 oteq1 4558 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → ⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)
86 oteq3 4560 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → ⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩)
8786fveq2d 6352 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
8887oteq2d 4562 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → ⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩)
8985, 88eqtrd 2790 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → ⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩)
9089fveq2d 6352 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑤 → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩))
9184, 90reusv3 5021 . . . . 5 (∃𝑧𝑉 ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷) → (∀𝑧𝑉𝑤𝑉 (((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃𝑦𝐷𝑧𝑉 ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
9277, 91syl 17 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑧𝑉𝑤𝑉 (((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃𝑦𝐷𝑧𝑉 ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
9338, 92mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦𝐷𝑧𝑉 ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
94 ioran 512 . . . . . . . 8 (¬ (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})))
95 elun 3892 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})))
9694, 95xchnxbir 322 . . . . . . 7 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})))
9742ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇}))) → 𝑈 ∈ LMod)
983, 41, 6lspsncl 19175 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
9942, 39, 98syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
10099ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
101 simplr 809 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇}))) → 𝑧𝑉)
102 simprl 811 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇}))) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
1033, 5, 41, 97, 100, 101, 102lssneln0 19150 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇}))) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
104103ex 449 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑉) → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })))
10542ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑈 ∈ LMod)
106 simplr 809 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑧𝑉)
10739ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋𝑉)
108 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
1093, 6, 105, 106, 107, 108lspsnne2 19316 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
110109ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝑉) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋})))
11142ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑈 ∈ LMod)
112 simplr 809 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑧𝑉)
11334ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑇𝑉)
114 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇}))
1153, 6, 111, 112, 113, 114lspsnne2 19316 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
116115ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝑉) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇}) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
117110, 116anim12d 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑉) → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))))
118104, 117jcad 556 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝑉) → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))))
11996, 118syl5bi 232 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑉) → (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))))
120119imim1d 82 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑉) → (((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) → (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
121120ralimdva 3096 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑧𝑉 ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) → ∀𝑧𝑉𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
122121reximdv 3150 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦𝐷𝑧𝑉 ((𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) → ∃𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
12393, 122mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
1243, 6, 42, 39, 34lspprid1 19195 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
12541, 6, 42, 44, 124lspsnel5a 19194 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
1263, 6, 42, 39, 34lspprid2 19196 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
12741, 6, 42, 44, 126lspsnel5a 19194 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
128125, 127unssd 3928 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
129128ssneld 3742 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))))
130129reximdv 3150 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))))
13140, 130mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})))
132 reusv1 5011 . . 3 (∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → (∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
133131, 132syl 17 . 2 (𝜑 → (∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
134123, 133mpbird 247 1 (𝜑 → ∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135  wne 2928  wral 3046  wrex 3047  ∃!wreu 3048  Vcvv 3336  cdif 3708  cun 3709  ifcif 4226  {csn 4317  {cpr 4319  cotp 4325  cmpt 4877  cfv 6045  crio 6769  (class class class)co 6809  1st c1st 7327  2nd c2nd 7328  Basecbs 16055  0gc0g 16298  -gcsg 17621  LModclmod 19061  LSubSpclss 19130  LSpanclspn 19169  LVecclvec 19300  HLchlt 35136  LHypclh 35769  DVecHcdvh 36865  LCDualclcd 37373  mapdcmpd 37411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-riotaBAD 34738
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-ot 4326  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-iin 4671  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-of 7058  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-tpos 7517  df-undef 7564  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-map 8021  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-fz 12516  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-sca 16155  df-vsca 16156  df-0g 16300  df-mre 16444  df-mrc 16445  df-acs 16447  df-preset 17125  df-poset 17143  df-plt 17155  df-lub 17171  df-glb 17172  df-join 17173  df-meet 17174  df-p0 17236  df-p1 17237  df-lat 17243  df-clat 17305  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-submnd 17533  df-grp 17622  df-minusg 17623  df-sbg 17624  df-subg 17788  df-cntz 17946  df-oppg 17972  df-lsm 18247  df-cmn 18391  df-abl 18392  df-mgp 18686  df-ur 18698  df-ring 18745  df-oppr 18819  df-dvdsr 18837  df-unit 18838  df-invr 18868  df-dvr 18879  df-drng 18947  df-lmod 19063  df-lss 19131  df-lsp 19170  df-lvec 19301  df-lsatoms 34762  df-lshyp 34763  df-lcv 34805  df-lfl 34844  df-lkr 34872  df-ldual 34910  df-oposet 34962  df-ol 34964  df-oml 34965  df-covers 35052  df-ats 35053  df-atl 35084  df-cvlat 35108  df-hlat 35137  df-llines 35283  df-lplanes 35284  df-lvols 35285  df-lines 35286  df-psubsp 35288  df-pmap 35289  df-padd 35581  df-lhyp 35773  df-laut 35774  df-ldil 35889  df-ltrn 35890  df-trl 35945  df-tgrp 36529  df-tendo 36541  df-edring 36543  df-dveca 36789  df-disoa 36816  df-dvech 36866  df-dib 36926  df-dic 36960  df-dih 37016  df-doch 37135  df-djh 37182  df-lcdual 37374  df-mapd 37412
This theorem is referenced by:  hdmap1eulem  37611
  Copyright terms: Public domain W3C validator