Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh8b 37589
 Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s = (-g𝑈)
mapdh8a.o 0 = (0g𝑈)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh8a.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh8a.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdh8b.f (𝜑𝐺𝐷)
mapdh8b.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdh8b.a (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑤⟩) = 𝐸)
mapdh8b.x (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8b.y (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8b.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8b.xt (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8b.vw (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
mapdh8b.e (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
mapdh8b.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
Assertion
Ref Expression
mapdh8b (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑤, 𝐸, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩))
Distinct variable groups:   𝑥,,   0 ,,𝑥   𝐶,   𝐷,,𝑥   ,𝐼   ,𝐺,𝑥   ,𝐽,𝑥   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥   𝜑,   𝑅,,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,,𝑥   𝑈,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   ,𝐸,𝑥   𝑤,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤)   𝐷(𝑤)   𝑄(𝑤,)   𝑅(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑤)   𝐸(𝑤)   𝐺(𝑤)   𝐻(𝑥,𝑤,)   𝐼(𝑥,𝑤)   𝐽(𝑤)   𝐾(𝑥,𝑤,)   𝑀(𝑤)   (𝑤)   𝑁(𝑤)   𝑉(𝑥,𝑤,)   𝑊(𝑥,𝑤,)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)   0 (𝑤)

Proof of Theorem mapdh8b
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh8a.u . 2 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh8a.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 mapdh8a.s . 2 = (-g𝑈)
5 mapdh8a.o . 2 0 = (0g𝑈)
6 mapdh8a.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 mapdh8a.c . 2 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdh8a.d . 2 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 mapdh8a.r . 2 𝑅 = (-g𝐶)
10 mapdh8a.q . 2 𝑄 = (0g𝐶)
11 mapdh8a.j . 2 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 mapdh8a.m . 2 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 mapdh8a.i . 2 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
14 mapdh8a.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 mapdh8b.f . 2 (𝜑𝐺𝐷)
16 mapdh8b.mn . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
17 mapdh8b.a . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑤⟩) = 𝐸)
18 mapdh8b.x . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19 mapdh8b.y . 2 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20 mapdh8b.yz . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
21 mapdh8b.xt . 2 (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
221, 2, 14dvhlvec 36918 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
2318eldifad 3727 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
2419eldifad 3727 . . . 4 (𝜑𝑤𝑉)
2521eldifad 3727 . . . 4 (𝜑𝑇𝑉)
26 mapdh8b.e . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
27 mapdh8b.xn . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
283, 6, 22, 23, 24, 25, 26, 27lspindp5 37579 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
29 prcom 4411 . . . . . 6 {𝑤, 𝑇} = {𝑇, 𝑤}
3029fveq2i 6356 . . . . 5 (𝑁‘{𝑤, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑇, 𝑤})
3130eleq2i 2831 . . . 4 (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑇}) ↔ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑤}))
3222adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑤})) → 𝑈 ∈ LVec)
3318adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑤})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3425adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑤})) → 𝑇𝑉)
3524adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑤})) → 𝑤𝑉)
36 mapdh8b.vw . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
3736adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑤})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
38 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑤})) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑤}))
393, 5, 6, 32, 33, 34, 35, 37, 38lspexch 19351 . . . . 5 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑤})) → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
4039ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑤}) → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})))
4131, 40syl5bi 232 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑇}) → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})))
4228, 41mtod 189 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑇}))
431, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 42mapdh8a 37584 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑤, 𝐸, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712  ifcif 4230  {csn 4321  {cpr 4323  ⟨cotp 4329   ↦ cmpt 4881  ‘cfv 6049  ℩crio 6774  (class class class)co 6814  1st c1st 7332  2nd c2nd 7333  Basecbs 16079  0gc0g 16322  -gcsg 17645  LSpanclspn 19193  LVecclvec 19324  HLchlt 35158  LHypclh 35791  DVecHcdvh 36887  LCDualclcd 37395  mapdcmpd 37433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-riotaBAD 34760 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-undef 7569  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-0g 16324  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-oppg 17996  df-lsm 18271  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-dvr 18903  df-drng 18971  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lvec 19325  df-lsatoms 34784  df-lshyp 34785  df-lcv 34827  df-lfl 34866  df-lkr 34894  df-ldual 34932  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-llines 35305  df-lplanes 35306  df-lvols 35307  df-lines 35308  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967  df-tgrp 36551  df-tendo 36563  df-edring 36565  df-dveca 36811  df-disoa 36838  df-dvech 36888  df-dib 36948  df-dic 36982  df-dih 37038  df-doch 37157  df-djh 37204  df-lcdual 37396  df-mapd 37434 This theorem is referenced by:  mapdh8c  37590  mapdh8d0N  37591  mapdh8d  37592
 Copyright terms: Public domain W3C validator