Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh7fN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh7fN 37561
Description: Part (7) of [Baer] p. 48 line 10 (6 of 6 cases). (Contributed by NM, 2-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh7.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh7.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh7.s = (-g𝑈)
mapdh7.o 0 = (0g𝑈)
mapdh7.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh7.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh7.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh7.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh7.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh7.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh7.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdh7.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh7.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh7.x (𝜑𝑢 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.y (𝜑𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.z (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
mapdh7.wn (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑢, 𝑣}))
mapdh7a (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) = 𝐺)
mapdh7.b (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
mapdh7fN (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑤, 𝐸, 𝑣⟩) = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,,   𝐶,   𝐷,,𝑥   ,𝐸,𝑥   ,𝐹,𝑥   ,𝐺,𝑥   0 ,,𝑥   ,𝐽,𝑥   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥   𝜑,   𝑥,𝑄   𝑢,,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,,𝑥   𝑈,
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐷(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑄(𝑤,𝑣,𝑢,)   𝑅(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐸(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,)   𝐽(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,)   𝑀(𝑤,𝑣,𝑢)   (𝑤,𝑣,𝑢)   𝑁(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,)   0 (𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem mapdh7fN
StepHypRef Expression
1 mapdh7.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh7.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh7.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 mapdh7.s . . 3 = (-g𝑈)
5 mapdh7.o . . 3 0 = (0g𝑈)
6 mapdh7.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 mapdh7.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdh7.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 mapdh7.r . . 3 𝑅 = (-g𝐶)
10 mapdh7.q . . 3 𝑄 = (0g𝐶)
11 mapdh7.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 mapdh7.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 mapdh7.i . . 3 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
14 mapdh7.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 mapdh7.f . . 3 (𝜑𝐹𝐷)
16 mapdh7.mn . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐽‘{𝐹}))
17 mapdh7.x . . 3 (𝜑𝑢 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18 mapdh7.y . . 3 (𝜑𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19 mapdh7.z . . 3 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20 mapdh7.ne . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
21 mapdh7.wn . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑢, 𝑣}))
22 mapdh7a . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) = 𝐺)
23 mapdh7.b . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐸)
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23mapdh7dN 37560 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑣, 𝐺, 𝑤⟩) = 𝐸)
2518eldifad 3735 . . . . 5 (𝜑𝑣𝑉)
2610, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 17, 25, 20mapdhcl 37537 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) ∈ 𝐷)
2722, 26eqeltrrd 2851 . . 3 (𝜑𝐺𝐷)
2810, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 17, 18, 27, 20mapdheq 37538 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 𝑣)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
2922, 28mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 𝑣)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
3029simpld 482 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐽‘{𝐺}))
3119eldifad 3735 . . . . 5 (𝜑𝑤𝑉)
321, 2, 14dvhlvec 36919 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
3317eldifad 3735 . . . . . . . 8 (𝜑𝑢𝑉)
343, 6, 32, 31, 33, 25, 21lspindpi 19346 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑢}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑣})))
3534simpld 482 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑢}))
3635necomd 2998 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
3710, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 17, 31, 36mapdhcl 37537 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑤⟩) ∈ 𝐷)
3823, 37eqeltrrd 2851 . . 3 (𝜑𝐸𝐷)
3934simprd 483 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
4039necomd 2998 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
4110, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 27, 30, 18, 19, 38, 40mapdheq2 37539 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑣, 𝐺, 𝑤⟩) = 𝐸 → (𝐼‘⟨𝑤, 𝐸, 𝑣⟩) = 𝐺))
4224, 41mpd 15 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑤, 𝐸, 𝑣⟩) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  Vcvv 3351  cdif 3720  ifcif 4226  {csn 4317  {cpr 4319  cotp 4325  cmpt 4864  cfv 6030  crio 6756  (class class class)co 6796  1st c1st 7317  2nd c2nd 7318  Basecbs 16064  0gc0g 16308  -gcsg 17632  LSpanclspn 19184  HLchlt 35159  LHypclh 35793  DVecHcdvh 36888  LCDualclcd 37396  mapdcmpd 37434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-ot 4326  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-undef 7555  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-0g 16310  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-oppg 17983  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316  df-lsatoms 34785  df-lshyp 34786  df-lcv 34828  df-lfl 34867  df-lkr 34895  df-ldual 34933  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35307  df-lplanes 35308  df-lvols 35309  df-lines 35310  df-psubsp 35312  df-pmap 35313  df-padd 35605  df-lhyp 35797  df-laut 35798  df-ldil 35913  df-ltrn 35914  df-trl 35969  df-tgrp 36553  df-tendo 36565  df-edring 36567  df-dveca 36813  df-disoa 36839  df-dvech 36889  df-dib 36949  df-dic 36983  df-dih 37039  df-doch 37158  df-djh 37205  df-lcdual 37397  df-mapd 37435
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator