Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6eN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh6eN 37531
 Description: Lemmma for mapdh6N 37538. Part (6) in [Baer] p. 47 line 38. (Contributed by NM, 1-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s = (-g𝑈)
mapdhc.o 0 = (0g𝑈)
mapdh.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdhc.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p + = (+g𝑈)
mapdh.a = (+g𝐶)
mapdh6d.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh6d.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdh6d.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.w (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.wn (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
mapdh6eN (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, ((𝑤 + 𝑌) + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + 𝑌)⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,   ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   𝜑,   0 ,   𝐶,   𝐷,   ,𝐽   ,𝑀   ,𝑁   𝑅,   𝑈,   ,   𝑤,   ,𝑍,𝑥   ,   ,𝐼,𝑥   + ,,𝑥   𝑥,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤)   𝐷(𝑤)   + (𝑤)   (𝑥,𝑤)   𝑄(𝑤,)   𝑅(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑤)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑥,𝑤,)   𝐼(𝑤)   𝐽(𝑤)   𝐾(𝑥,𝑤,)   𝑀(𝑤)   (𝑤)   𝑁(𝑤)   𝑉(𝑥,𝑤,)   𝑊(𝑥,𝑤,)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)   0 (𝑤)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem mapdh6eN
StepHypRef Expression
1 mapdh.q . 2 𝑄 = (0g𝐶)
2 mapdh.i . 2 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
3 mapdh.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 mapdh.m . 2 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
5 mapdh.u . 2 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 mapdh.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑈)
7 mapdh.s . 2 = (-g𝑈)
8 mapdhc.o . 2 0 = (0g𝑈)
9 mapdh.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10 mapdh.c . 2 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11 mapdh.d . 2 𝐷 = (Base‘𝐶)
12 mapdh.r . 2 𝑅 = (-g𝐶)
13 mapdh.j . 2 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
14 mapdh.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 mapdhc.f . 2 (𝜑𝐹𝐷)
16 mapdh.mn . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17 mapdhcl.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18 mapdh.p . 2 + = (+g𝑈)
19 mapdh.a . 2 = (+g𝐶)
203, 5, 14dvhlmod 36901 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
21 mapdh6d.w . . . . 5 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2221eldifad 3727 . . . 4 (𝜑𝑤𝑉)
23 mapdh6d.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2423eldifad 3727 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
256, 18lmodvacl 19079 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑤𝑉𝑌𝑉) → (𝑤 + 𝑌) ∈ 𝑉)
2620, 22, 24, 25syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (𝑤 + 𝑌) ∈ 𝑉)
273, 5, 14dvhlvec 36900 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
2817eldifad 3727 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
29 mapdh6d.wn . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
306, 9, 27, 22, 28, 24, 29lspindpi 19334 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
3130simprd 482 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
326, 18, 8, 9, 20, 22, 24, 31lmodindp1 19216 . . 3 (𝜑 → (𝑤 + 𝑌) ≠ 0 )
33 eldifsn 4462 . . 3 ((𝑤 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑤 + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑤 + 𝑌) ≠ 0 ))
3426, 32, 33sylanbrc 701 . 2 (𝜑 → (𝑤 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35 mapdh6d.z . 2 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3635eldifad 3727 . . . . 5 (𝜑𝑍𝑉)
37 mapdh6d.yz . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
38 mapdh6d.xn . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
396, 9, 27, 28, 24, 36, 38lspindpi 19334 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
4039simpld 477 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
416, 18, 8, 9, 27, 17, 23, 35, 21, 37, 40, 29mapdindp3 37513 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))
426, 18, 8, 9, 27, 17, 23, 35, 21, 37, 40, 29mapdindp4 37514 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑤 + 𝑌)}))
436, 8, 9, 27, 17, 26, 36, 41, 42lspindp1 19335 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)})))
4443simprd 482 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)}))
45 prcom 4411 . . . . 5 {(𝑤 + 𝑌), 𝑍} = {𝑍, (𝑤 + 𝑌)}
4645fveq2i 6355 . . . 4 (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌), 𝑍}) = (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)})
4746eleq2i 2831 . . 3 (𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌), 𝑍}) ↔ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)}))
4844, 47sylnibr 318 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌), 𝑍}))
496, 9, 27, 36, 28, 26, 42lspindpi 19334 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
5049simprd 482 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))
5150necomd 2987 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
52 eqidd 2761 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + 𝑌)⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + 𝑌)⟩))
53 eqidd 2761 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 34, 35, 48, 51, 52, 53mapdh6aN 37526 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, ((𝑤 + 𝑌) + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + 𝑌)⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712  ifcif 4230  {csn 4321  {cpr 4323  ⟨cotp 4329   ↦ cmpt 4881  ‘cfv 6049  ℩crio 6773  (class class class)co 6813  1st c1st 7331  2nd c2nd 7332  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  0gc0g 16302  -gcsg 17625  LModclmod 19065  LSpanclspn 19173  HLchlt 35140  LHypclh 35773  DVecHcdvh 36869  LCDualclcd 37377  mapdcmpd 37415 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-riotaBAD 34742 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-tpos 7521  df-undef 7568  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-0g 16304  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-p1 17241  df-lat 17247  df-clat 17309  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-subg 17792  df-cntz 17950  df-oppg 17976  df-lsm 18251  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-dvr 18883  df-drng 18951  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lsp 19174  df-lvec 19305  df-lsatoms 34766  df-lshyp 34767  df-lcv 34809  df-lfl 34848  df-lkr 34876  df-ldual 34914  df-oposet 34966  df-ol 34968  df-oml 34969  df-covers 35056  df-ats 35057  df-atl 35088  df-cvlat 35112  df-hlat 35141  df-llines 35287  df-lplanes 35288  df-lvols 35289  df-lines 35290  df-psubsp 35292  df-pmap 35293  df-padd 35585  df-lhyp 35777  df-laut 35778  df-ldil 35893  df-ltrn 35894  df-trl 35949  df-tgrp 36533  df-tendo 36545  df-edring 36547  df-dveca 36793  df-disoa 36820  df-dvech 36870  df-dib 36930  df-dic 36964  df-dih 37020  df-doch 37139  df-djh 37186  df-lcdual 37378  df-mapd 37416 This theorem is referenced by:  mapdh6gN  37533
 Copyright terms: Public domain W3C validator