Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6dN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh6dN 37548
Description: Lemmma for mapdh6N 37556. (Contributed by NM, 1-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s = (-g𝑈)
mapdhc.o 0 = (0g𝑈)
mapdh.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdhc.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p + = (+g𝑈)
mapdh.a = (+g𝐶)
mapdh6d.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh6d.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdh6d.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.w (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.wn (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
mapdh6dN (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,   ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   𝜑,   0 ,   𝐶,   𝐷,   ,𝐽   ,𝑀   ,𝑁   𝑅,   𝑈,   ,   𝑤,   ,𝑍,𝑥   ,   ,𝐼,𝑥   + ,,𝑥   𝑥,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤)   𝐷(𝑤)   + (𝑤)   (𝑥,𝑤)   𝑄(𝑤,)   𝑅(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑤)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑥,𝑤,)   𝐼(𝑤)   𝐽(𝑤)   𝐾(𝑥,𝑤,)   𝑀(𝑤)   (𝑤)   𝑁(𝑤)   𝑉(𝑥,𝑤,)   𝑊(𝑥,𝑤,)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)   0 (𝑤)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem mapdh6dN
StepHypRef Expression
1 mapdh.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 37401 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
5 mapdh.q . . . . . 6 𝑄 = (0g𝐶)
6 mapdh.i . . . . . 6 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
7 mapdh.m . . . . . 6 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdh.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9 mapdh.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
10 mapdh.s . . . . . 6 = (-g𝑈)
11 mapdhc.o . . . . . 6 0 = (0g𝑈)
12 mapdh.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
13 mapdh.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐶)
14 mapdh.r . . . . . 6 𝑅 = (-g𝐶)
15 mapdh.j . . . . . 6 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
16 mapdhc.f . . . . . 6 (𝜑𝐹𝐷)
17 mapdh.mn . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
18 mapdhcl.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19 mapdh6d.w . . . . . . 7 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2019eldifad 3727 . . . . . 6 (𝜑𝑤𝑉)
211, 8, 3dvhlvec 36918 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
2218eldifad 3727 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
23 mapdh6d.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2423eldifad 3727 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑉)
25 mapdh6d.wn . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
269, 12, 21, 20, 22, 24, 25lspindpi 19354 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
2726simpld 477 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
2827necomd 2987 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
295, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 2, 13, 14, 15, 3, 16, 17, 18, 20, 28mapdhcl 37536 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ∈ 𝐷)
30 mapdh.a . . . . . 6 = (+g𝐶)
3113, 30, 5lmod0vrid 19116 . . . . 5 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ∈ 𝐷) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
324, 29, 31syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
3332adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
34 oteq3 4564 . . . . . 6 ((𝑌 + 𝑍) = 0 → ⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩)
3534fveq2d 6357 . . . . 5 ((𝑌 + 𝑍) = 0 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩))
365, 6, 11, 18, 16mapdhval0 37534 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) = 𝑄)
3735, 36sylan9eqr 2816 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = 𝑄)
3837oveq2d 6830 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) 𝑄))
39 oveq2 6822 . . . . . 6 ((𝑌 + 𝑍) = 0 → (𝑤 + (𝑌 + 𝑍)) = (𝑤 + 0 ))
401, 8, 3dvhlmod 36919 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
41 mapdh.p . . . . . . . 8 + = (+g𝑈)
429, 41, 11lmod0vrid 19116 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑤𝑉) → (𝑤 + 0 ) = 𝑤)
4340, 20, 42syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤 + 0 ) = 𝑤)
4439, 43sylan9eqr 2816 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑤 + (𝑌 + 𝑍)) = 𝑤)
4544oteq3d 4567 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → ⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩)
4645fveq2d 6357 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
4733, 38, 463eqtr4rd 2805 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)))
483adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4916adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝐹𝐷)
5017adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
5118adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5219adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
53 mapdh6d.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5453eldifad 3727 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
559, 41lmodvacl 19099 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
5640, 24, 54, 55syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
5756anim1i 593 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → ((𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ))
58 eldifsn 4462 . . . 4 ((𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ))
5957, 58sylibr 224 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
60 mapdh6d.yz . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
61 mapdh6d.xn . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
629, 12, 21, 22, 24, 54, 61lspindpi 19354 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
6362simpld 477 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
649, 41, 11, 12, 21, 18, 23, 53, 19, 60, 63, 25mapdindp1 37529 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
659, 41, 11, 12, 21, 18, 23, 53, 19, 60, 63, 25mapdindp2 37530 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}))
669, 11, 12, 21, 18, 56, 20, 64, 65lspindp1 19355 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, (𝑌 + 𝑍)})))
6766simprd 482 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, (𝑌 + 𝑍)}))
6867adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, (𝑌 + 𝑍)}))
6926simprd 482 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
709, 11, 12, 21, 19, 24, 69lspsnne1 19339 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
71 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
729, 12, 71, 40, 24, 54lsmpr 19311 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) = ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})))
7360oveq2d 6830 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})))
74 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
759, 74, 12lspsncl 19199 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
7640, 24, 75syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
7774lsssubg 19179 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
7840, 76, 77syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
7971lsmidm 18297 . . . . . . . . . 10 ((𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘{𝑌}))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘{𝑌}))
8172, 73, 803eqtr2d 2800 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) = (𝑁‘{𝑌}))
8270, 81neleqtrrd 2861 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
839, 41, 12, 40, 24, 54, 20, 82lspindp4 19359 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, (𝑌 + 𝑍)}))
849, 12, 21, 20, 24, 56, 83lspindpi 19354 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})))
8584simprd 482 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
8685adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
87 eqidd 2761 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
88 eqidd 2761 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩))
895, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 2, 13, 14, 15, 48, 49, 50, 51, 41, 30, 52, 59, 68, 86, 87, 88mapdh6aN 37544 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)))
9047, 89pm2.61dane 3019 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  Vcvv 3340  cdif 3712  ifcif 4230  {csn 4321  {cpr 4323  cotp 4329  cmpt 4881  cfv 6049  crio 6774  (class class class)co 6814  1st c1st 7332  2nd c2nd 7333  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  0gc0g 16322  -gcsg 17645  SubGrpcsubg 17809  LSSumclsm 18269  LModclmod 19085  LSubSpclss 19154  LSpanclspn 19193  HLchlt 35158  LHypclh 35791  DVecHcdvh 36887  LCDualclcd 37395  mapdcmpd 37433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-riotaBAD 34760
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-undef 7569  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-0g 16324  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-oppg 17996  df-lsm 18271  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-dvr 18903  df-drng 18971  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lvec 19325  df-lsatoms 34784  df-lshyp 34785  df-lcv 34827  df-lfl 34866  df-lkr 34894  df-ldual 34932  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-llines 35305  df-lplanes 35306  df-lvols 35307  df-lines 35308  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967  df-tgrp 36551  df-tendo 36563  df-edring 36565  df-dveca 36811  df-disoa 36838  df-dvech 36888  df-dib 36948  df-dic 36982  df-dih 37038  df-doch 37157  df-djh 37204  df-lcdual 37396  df-mapd 37434
This theorem is referenced by:  mapdh6gN  37551
  Copyright terms: Public domain W3C validator