Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdcv 37420
Description: Covering property of the converse of the map defined by df-mapd 37385. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdcv.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdcv.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdcv.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdcv.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdcv.c 𝐶 = ( ⋖L𝑈)
mapdcv.d 𝐷 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdcv.e 𝐸 = ( ⋖L𝐷)
mapdcv.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdcv.x (𝜑𝑋𝑆)
mapdcv.y (𝜑𝑌𝑆)
Assertion
Ref Expression
mapdcv (𝜑 → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑀𝑋)𝐸(𝑀𝑌)))

Proof of Theorem mapdcv
Dummy variables 𝑣 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdcv.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdcv.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdcv.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdcv.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
5 mapdcv.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 mapdcv.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑆)
7 mapdcv.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑆)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mapdsord 37415 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑌) ↔ 𝑋𝑌))
9 mapdcv.d . . . . . . 7 𝐷 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10 eqid 2748 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝐷) = (LSubSp‘𝐷)
115adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑆) → 𝑣𝑆)
131, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12mapdcl2 37416 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑆) → (𝑀𝑣) ∈ (LSubSp‘𝐷))
145adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
151, 2, 9, 10, 5mapdrn2 37411 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐷))
1615eleq2d 2813 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑓 ∈ ran 𝑀𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)))
1716biimpar 503 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → 𝑓 ∈ ran 𝑀)
181, 2, 3, 4, 14, 17mapdcnvcl 37412 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → (𝑀𝑓) ∈ 𝑆)
191, 2, 14, 17mapdcnvid2 37417 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → (𝑀‘(𝑀𝑓)) = 𝑓)
2019eqcomd 2754 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → 𝑓 = (𝑀‘(𝑀𝑓)))
21 fveq2 6340 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑀𝑓) → (𝑀𝑣) = (𝑀‘(𝑀𝑓)))
2221eqeq2d 2758 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑀𝑓) → (𝑓 = (𝑀𝑣) ↔ 𝑓 = (𝑀‘(𝑀𝑓))))
2322rspcev 3437 . . . . . . 7 (((𝑀𝑓) ∈ 𝑆𝑓 = (𝑀‘(𝑀𝑓))) → ∃𝑣𝑆 𝑓 = (𝑀𝑣))
2418, 20, 23syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → ∃𝑣𝑆 𝑓 = (𝑀𝑣))
25 psseq2 3825 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑀𝑣) → ((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓 ↔ (𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣)))
26 psseq1 3824 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑀𝑣) → (𝑓 ⊊ (𝑀𝑌) ↔ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌)))
2725, 26anbi12d 749 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑀𝑣) → (((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ∧ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌))))
2827adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 = (𝑀𝑣)) → (((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ∧ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌))))
2913, 24, 28rexxfrd 5018 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ∃𝑣𝑆 ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ∧ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌))))
306adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝑆) → 𝑋𝑆)
311, 2, 3, 4, 11, 30, 12mapdsord 37415 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑆) → ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ↔ 𝑋𝑣))
327adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝑆) → 𝑌𝑆)
331, 2, 3, 4, 11, 12, 32mapdsord 37415 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑆) → ((𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌) ↔ 𝑣𝑌))
3431, 33anbi12d 749 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑆) → (((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ∧ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ (𝑋𝑣𝑣𝑌)))
3534rexbidva 3175 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑣𝑆 ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ∧ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ∃𝑣𝑆 (𝑋𝑣𝑣𝑌)))
3629, 35bitrd 268 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ∃𝑣𝑆 (𝑋𝑣𝑣𝑌)))
3736notbid 307 . . 3 (𝜑 → (¬ ∃𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ¬ ∃𝑣𝑆 (𝑋𝑣𝑣𝑌)))
388, 37anbi12d 749 . 2 (𝜑 → (((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑌) ∧ ¬ ∃𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌))) ↔ (𝑋𝑌 ∧ ¬ ∃𝑣𝑆 (𝑋𝑣𝑣𝑌))))
39 mapdcv.e . . 3 𝐸 = ( ⋖L𝐷)
401, 9, 5lcdlmod 37352 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
411, 2, 3, 4, 9, 10, 5, 6mapdcl2 37416 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ (LSubSp‘𝐷))
421, 2, 3, 4, 9, 10, 5, 7mapdcl2 37416 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑌) ∈ (LSubSp‘𝐷))
4310, 39, 40, 41, 42lcvbr 34780 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋)𝐸(𝑀𝑌) ↔ ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑌) ∧ ¬ ∃𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)))))
44 mapdcv.c . . 3 𝐶 = ( ⋖L𝑈)
451, 3, 5dvhlmod 36870 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
464, 44, 45, 6, 7lcvbr 34780 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋𝑌 ∧ ¬ ∃𝑣𝑆 (𝑋𝑣𝑣𝑌))))
4738, 43, 463bitr4rd 301 1 (𝜑 → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑀𝑋)𝐸(𝑀𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wrex 3039  wpss 3704   class class class wbr 4792  ccnv 5253  ran crn 5255  cfv 6037  LModclmod 19036  LSubSpclss 19105  L clcv 34777  HLchlt 35109  LHypclh 35742  DVecHcdvh 36838  LCDualclcd 37346  mapdcmpd 37384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-riotaBAD 34711
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-tpos 7509  df-undef 7556  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-fz 12491  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-0g 16275  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-preset 17100  df-poset 17118  df-plt 17130  df-lub 17146  df-glb 17147  df-join 17148  df-meet 17149  df-p0 17211  df-p1 17212  df-lat 17218  df-clat 17280  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-submnd 17508  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-sbg 17599  df-subg 17763  df-cntz 17921  df-oppg 17947  df-lsm 18222  df-cmn 18366  df-abl 18367  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-oppr 18794  df-dvdsr 18812  df-unit 18813  df-invr 18843  df-dvr 18854  df-drng 18922  df-lmod 19038  df-lss 19106  df-lsp 19145  df-lvec 19276  df-lsatoms 34735  df-lshyp 34736  df-lcv 34778  df-lfl 34817  df-lkr 34845  df-ldual 34883  df-oposet 34935  df-ol 34937  df-oml 34938  df-covers 35025  df-ats 35026  df-atl 35057  df-cvlat 35081  df-hlat 35110  df-llines 35256  df-lplanes 35257  df-lvols 35258  df-lines 35259  df-psubsp 35261  df-pmap 35262  df-padd 35554  df-lhyp 35746  df-laut 35747  df-ldil 35862  df-ltrn 35863  df-trl 35918  df-tgrp 36502  df-tendo 36514  df-edring 36516  df-dveca 36762  df-disoa 36789  df-dvech 36839  df-dib 36899  df-dic 36933  df-dih 36989  df-doch 37108  df-djh 37155  df-lcdual 37347  df-mapd 37385
This theorem is referenced by:  mapdcnvatN  37426  mapdat  37427
  Copyright terms: Public domain W3C validator