Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapco2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapco2g 37803
Description: Renaming indexes in a tuple, with sethood as antecedents. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapco2g ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷:𝐸𝐶) → (𝐴𝐷) ∈ (𝐵𝑚 𝐸))

Proof of Theorem mapco2g
StepHypRef Expression
1 elmapi 8031 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → 𝐴:𝐶𝐵)
2 fco 6198 . . . 4 ((𝐴:𝐶𝐵𝐷:𝐸𝐶) → (𝐴𝐷):𝐸𝐵)
31, 2sylan 569 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷:𝐸𝐶) → (𝐴𝐷):𝐸𝐵)
433adant1 1124 . 2 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷:𝐸𝐶) → (𝐴𝐷):𝐸𝐵)
5 n0i 4068 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → ¬ (𝐵𝑚 𝐶) = ∅)
6 reldmmap 8018 . . . . . 6 Rel dom ↑𝑚
76ovprc1 6829 . . . . 5 𝐵 ∈ V → (𝐵𝑚 𝐶) = ∅)
85, 7nsyl2 144 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → 𝐵 ∈ V)
983ad2ant2 1128 . . 3 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷:𝐸𝐶) → 𝐵 ∈ V)
10 simp1 1130 . . 3 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷:𝐸𝐶) → 𝐸 ∈ V)
119, 10elmapd 8023 . 2 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷:𝐸𝐶) → ((𝐴𝐷) ∈ (𝐵𝑚 𝐸) ↔ (𝐴𝐷):𝐸𝐵))
124, 11mpbird 247 1 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷:𝐸𝐶) → (𝐴𝐷) ∈ (𝐵𝑚 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  c0 4063  ccom 5253  wf 6027  (class class class)co 6793  𝑚 cmap 8009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-map 8011
This theorem is referenced by:  mapco2  37804  eldioph2  37851
  Copyright terms: Public domain W3C validator