Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapco2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapco2g 36796
Description: Renaming indexes in a tuple, with sethood as antecedents. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapco2g ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷:𝐸𝐶) → (𝐴𝐷) ∈ (𝐵𝑚 𝐸))

Proof of Theorem mapco2g
StepHypRef Expression
1 elmapi 7839 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → 𝐴:𝐶𝐵)
2 fco 6025 . . . 4 ((𝐴:𝐶𝐵𝐷:𝐸𝐶) → (𝐴𝐷):𝐸𝐵)
31, 2sylan 488 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷:𝐸𝐶) → (𝐴𝐷):𝐸𝐵)
433adant1 1077 . 2 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷:𝐸𝐶) → (𝐴𝐷):𝐸𝐵)
5 n0i 3902 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → ¬ (𝐵𝑚 𝐶) = ∅)
6 reldmmap 7826 . . . . . 6 Rel dom ↑𝑚
76ovprc1 6649 . . . . 5 𝐵 ∈ V → (𝐵𝑚 𝐶) = ∅)
85, 7nsyl2 142 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → 𝐵 ∈ V)
983ad2ant2 1081 . . 3 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷:𝐸𝐶) → 𝐵 ∈ V)
10 simp1 1059 . . 3 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷:𝐸𝐶) → 𝐸 ∈ V)
119, 10elmapd 7831 . 2 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷:𝐸𝐶) → ((𝐴𝐷) ∈ (𝐵𝑚 𝐸) ↔ (𝐴𝐷):𝐸𝐵))
124, 11mpbird 247 1 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷:𝐸𝐶) → (𝐴𝐷) ∈ (𝐵𝑚 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3190  c0 3897  ccom 5088  wf 5853  (class class class)co 6615  𝑚 cmap 7817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-map 7819
This theorem is referenced by:  mapco2  36797  eldioph2  36844
  Copyright terms: Public domain W3C validator