MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamures Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamures 20369
Description: Rows in a matrix product are functions only of the corresponding rows in the left argument. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mamures.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamures.g 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝑁, 𝑃⟩)
mamures.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamures.r (𝜑𝑅𝑉)
mamures.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamures.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamures.p (𝜑𝑃 ∈ Fin)
mamures.i (𝜑𝐼𝑀)
mamures.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
mamures.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑃)))
Assertion
Ref Expression
mamures (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝐺𝑌))

Proof of Theorem mamures
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamures.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑀)
2 ssid 3753 . . . . 5 𝑃𝑃
32a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑃𝑃)
4 resmpt2 6911 . . . 4 ((𝐼𝑀𝑃𝑃) → ((𝑖𝑀, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = (𝑖𝐼, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
51, 3, 4syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → ((𝑖𝑀, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = (𝑖𝐼, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
6 ovres 6953 . . . . . . . . 9 ((𝑖𝐼𝑘𝑁) → (𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘) = (𝑖𝑋𝑘))
763ad2antl2 1178 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝐼𝑗𝑃) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘) = (𝑖𝑋𝑘))
87eqcomd 2754 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝐼𝑗𝑃) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑖𝑋𝑘) = (𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘))
98oveq1d 6816 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝐼𝑗𝑃) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗)) = ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗)))
109mpteq2dva 4884 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼𝑗𝑃) → (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))) = (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))
1110oveq2d 6817 . . . 4 ((𝜑𝑖𝐼𝑗𝑃) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗)))))
1211mpt2eq3dva 6872 . . 3 (𝜑 → (𝑖𝐼, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) = (𝑖𝐼, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
135, 12eqtrd 2782 . 2 (𝜑 → ((𝑖𝑀, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = (𝑖𝐼, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
14 mamures.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
15 mamures.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
16 eqid 2748 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
17 mamures.r . . . 4 (𝜑𝑅𝑉)
18 mamures.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
19 mamures.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
20 mamures.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Fin)
21 mamures.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
22 mamures.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑃)))
2314, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22mamuval 20365 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (𝑖𝑀, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
2423reseq1d 5538 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = ((𝑖𝑀, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)))
25 mamures.g . . 3 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝑁, 𝑃⟩)
26 ssfi 8333 . . . 4 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐼𝑀) → 𝐼 ∈ Fin)
2718, 1, 26syl2anc 696 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
28 elmapi 8033 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
2921, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
30 xpss1 5272 . . . . . 6 (𝐼𝑀 → (𝐼 × 𝑁) ⊆ (𝑀 × 𝑁))
311, 30syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 × 𝑁) ⊆ (𝑀 × 𝑁))
3229, 31fssresd 6220 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)):(𝐼 × 𝑁)⟶𝐵)
33 fvex 6350 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
3415, 33eqeltri 2823 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
3534a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
36 xpfi 8384 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐼 × 𝑁) ∈ Fin)
3727, 19, 36syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 × 𝑁) ∈ Fin)
3835, 37elmapd 8025 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)) ∈ (𝐵𝑚 (𝐼 × 𝑁)) ↔ (𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)):(𝐼 × 𝑁)⟶𝐵))
3932, 38mpbird 247 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)) ∈ (𝐵𝑚 (𝐼 × 𝑁)))
4025, 15, 16, 17, 27, 19, 20, 39, 22mamuval 20365 . 2 (𝜑 → ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝐺𝑌) = (𝑖𝐼, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
4113, 24, 403eqtr4d 2792 1 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝐺𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  Vcvv 3328  wss 3703  cotp 4317  cmpt 4869   × cxp 5252  cres 5256  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801  cmpt2 6803  𝑚 cmap 8011  Fincfn 8109  Basecbs 16030  .rcmulr 16115   Σg cgsu 16274   maMul cmmul 20362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-ot 4318  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-fin 8113  df-mamu 20363
This theorem is referenced by:  mdetmul  20602
  Copyright terms: Public domain W3C validator