Theorem mamumat1cl 20439

Description: The identity matrix (as operation in maps-to notation) is a matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamumat1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamumat1cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mamumat1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mamumat1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mamumat1cl.i	⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
mamumat1cl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
mamumat1cl	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑀 × 𝑀)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐵   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑗)   1 (𝑖,𝑗)   𝐼(𝑖,𝑗)   0 (𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mamumat1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamumat1cl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		mamumat1cl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		mamumat1cl.o	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 18760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
5		mamumat1cl.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	2, 5	ring0cl 18761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
7	4, 6	ifcld 4267	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
9	8	adantr 472	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀)) → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
10	9	ralrimivva 3101	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑗 ∈ 𝑀 if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
11		mamumat1cl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
12	11	fmpt2 7397	. . 3 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑗 ∈ 𝑀 if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵 ↔ 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
13	10, 12	sylib 208	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
14		fvex 6354	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
15	2, 14	eqeltri 2827	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
16		mamumat1cl.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
17		xpfi 8388	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑀) ∈ Fin)
18	16, 16, 17	syl2anc 696	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑀) ∈ Fin)
19		elmapg 8028	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑀) ∈ Fin) → (𝐼 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑀 × 𝑀)) ↔ 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵))
20	15, 18, 19	sylancr 698	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑀 × 𝑀)) ↔ 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵))
21	13, 20	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑀 × 𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  ∀wral 3042  Vcvv 3332  ifcif 4222   × cxp 5256  ⟶wf 6037  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805   ↦ cmpt2 6807   ↑_𝑚 cmap 8015  Fincfn 8113  Basecbs 16051  0_gc0g 16294  1_rcur 18693  Ringcrg 18739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-plusg 16148  df-0g 16296  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-grp 17618  df-mgp 18682  df-ur 18694  df-ring 18741

This theorem is referenced by:  mamulid  20441  mamurid  20442  matring  20443  mat1  20447