MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamufv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamufv 20410
Description: A cell in the multiplication of two matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamufval.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamufval.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamufval.t · = (.r𝑅)
mamufval.r (𝜑𝑅𝑉)
mamufval.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamufval.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamufval.p (𝜑𝑃 ∈ Fin)
mamuval.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
mamuval.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑃)))
mamufv.i (𝜑𝐼𝑀)
mamufv.k (𝜑𝐾𝑃)
Assertion
Ref Expression
mamufv (𝜑 → (𝐼(𝑋𝐹𝑌)𝐾) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝐾)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑗,𝑋   𝑗,𝑌   𝜑,𝑗   𝑗,𝐼   𝑗,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗)   · (𝑗)   𝐹(𝑗)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem mamufv
Dummy variables 𝑖 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamufval.f . . 3 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
2 mamufval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 mamufval.t . . 3 · = (.r𝑅)
4 mamufval.r . . 3 (𝜑𝑅𝑉)
5 mamufval.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
6 mamufval.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
7 mamufval.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Fin)
8 mamuval.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
9 mamuval.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑃)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mamuval 20409 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝑘))))))
11 oveq1 6803 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖𝑋𝑗) = (𝐼𝑋𝑗))
12 oveq2 6804 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → (𝑗𝑌𝑘) = (𝑗𝑌𝐾))
1311, 12oveqan12d 6815 . . . . 5 ((𝑖 = 𝐼𝑘 = 𝐾) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝑘)) = ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝐾)))
1413adantl 467 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑘 = 𝐾)) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝑘)) = ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝐾)))
1514mpteq2dv 4880 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑘 = 𝐾)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝐾))))
1615oveq2d 6812 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑘 = 𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝐾)))))
17 mamufv.i . 2 (𝜑𝐼𝑀)
18 mamufv.k . 2 (𝜑𝐾𝑃)
19 ovexd 6829 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝐾)))) ∈ V)
2010, 16, 17, 18, 19ovmpt2d 6939 1 (𝜑 → (𝐼(𝑋𝐹𝑌)𝐾) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝐾)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cotp 4325  cmpt 4864   × cxp 5248  cfv 6030  (class class class)co 6796  𝑚 cmap 8013  Fincfn 8113  Basecbs 16064  .rcmulr 16150   Σg cgsu 16309   maMul cmmul 20406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-ot 4326  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-mamu 20407
This theorem is referenced by:  mamuass  20425  mamudi  20426  mamudir  20427  mamuvs1  20428  mamuvs2  20429  mamulid  20464  mamurid  20465  matmulcell  20468  matmulcellOLD  20469  mavmulass  20573  mvmumamul1  20578  mdetmul  20647  decpmatmullem  20796  matunitlindflem2  33739
  Copyright terms: Public domain W3C validator