MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamudm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamudm 20417
Description: The domain of the matrix multiplication function. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamudm.e 𝐸 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑁))
mamudm.b 𝐵 = (Base‘𝐸)
mamudm.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑃))
mamudm.c 𝐶 = (Base‘𝐹)
mamudm.m × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
Assertion
Ref Expression
mamudm ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = (𝐵 × 𝐶))

Proof of Theorem mamudm
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamudm.m . . . 4 × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
2 eqid 2761 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2761 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 simpl 474 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑅𝑉)
5 simpr1 1234 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑀 ∈ Fin)
6 simpr2 1236 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑁 ∈ Fin)
7 simpr3 1238 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑃 ∈ Fin)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mamufval 20414 . . 3 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → × = (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))))
98dmeqd 5482 . 2 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = dom (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))))
10 mpt2exga 7416 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V)
11103adant2 1126 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V)
1211adantl 473 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V)
1312a1d 25 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃))) → (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V))
1413ralrimivv 3109 . . 3 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃))(𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V)
15 eqid 2761 . . . 4 (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))) = (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))))
1615dmmpt2ga 7412 . . 3 (∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃))(𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V → dom (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))) = (((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃))))
1714, 16syl 17 . 2 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))) = (((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃))))
18 xpfi 8399 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
19183adant3 1127 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
20 mamudm.e . . . . . 6 𝐸 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑁))
2120, 2frlmfibas 20328 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)) = (Base‘𝐸))
2219, 21sylan2 492 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)) = (Base‘𝐸))
23 mamudm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐸)
2422, 23syl6eqr 2813 . . 3 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)) = 𝐵)
25 xpfi 8399 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑃) ∈ Fin)
26253adant1 1125 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑃) ∈ Fin)
27 mamudm.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑃))
2827, 2frlmfibas 20328 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑁 × 𝑃) ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃)) = (Base‘𝐹))
2926, 28sylan2 492 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃)) = (Base‘𝐹))
30 mamudm.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝐹)
3129, 30syl6eqr 2813 . . 3 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃)) = 𝐶)
3224, 31xpeq12d 5298 . 2 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → (((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃))) = (𝐵 × 𝐶))
339, 17, 323eqtrd 2799 1 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = (𝐵 × 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  wral 3051  Vcvv 3341  cotp 4330  cmpt 4882   × cxp 5265  dom cdm 5267  cfv 6050  (class class class)co 6815  cmpt2 6817  𝑚 cmap 8026  Fincfn 8124  Basecbs 16080  .rcmulr 16165   Σg cgsu 16324   freeLMod cfrlm 20313   maMul cmmul 20412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-ot 4331  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-sup 8516  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-fz 12541  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-hom 16189  df-cco 16190  df-0g 16325  df-prds 16331  df-pws 16333  df-sra 19395  df-rgmod 19396  df-dsmm 20299  df-frlm 20314  df-mamu 20413
This theorem is referenced by:  mamufacex  20418
  Copyright terms: Public domain W3C validator