Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamucl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamucl 20424
 Description: Operation closure of matrix multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamucl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mamucl.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamucl.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamucl.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamucl.p (𝜑𝑃 ∈ Fin)
mamucl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
mamucl.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑃)))
Assertion
Ref Expression
mamucl (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑃)))

Proof of Theorem mamucl
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.f . . 3 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
2 mamucl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2771 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 mamucl.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5 mamucl.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
6 mamucl.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
7 mamucl.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Fin)
8 mamucl.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
9 mamucl.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑃)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mamuval 20409 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))))
11 ringcmn 18789 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
124, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
1312adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → 𝑅 ∈ CMnd)
146adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → 𝑁 ∈ Fin)
154ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
16 elmapi 8031 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
178, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
1817ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
19 simplrl 762 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑀)
20 simpr 471 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
2118, 19, 20fovrnd 6953 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
22 elmapi 8031 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑃)) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
239, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
2423ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
25 simplrr 763 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑘𝑃)
2624, 20, 25fovrnd 6953 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑗𝑌𝑘) ∈ 𝐵)
272, 3ringcl 18769 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑌𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
2815, 21, 26, 27syl3anc 1476 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
2928ralrimiva 3115 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → ∀𝑗𝑁 ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
302, 13, 14, 29gsummptcl 18573 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) ∈ 𝐵)
3130ralrimivva 3120 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖𝑀𝑘𝑃 (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) ∈ 𝐵)
32 fvex 6342 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
332, 32eqeltri 2846 . . . . 5 𝐵 ∈ V
34 xpfi 8387 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin)
355, 7, 34syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin)
36 elmapg 8022 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin) → ((𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑃)) ↔ (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵))
3733, 35, 36sylancr 575 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑃)) ↔ (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵))
38 eqid 2771 . . . . 5 (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) = (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))))
3938fmpt2 7387 . . . 4 (∀𝑖𝑀𝑘𝑃 (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵)
4037, 39syl6rbbr 279 . . 3 (𝜑 → (∀𝑖𝑀𝑘𝑃 (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑃))))
4131, 40mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑃)))
4210, 41eqeltrd 2850 1 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑃)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  Vcvv 3351  ⟨cotp 4324   ↦ cmpt 4863   × cxp 5247  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ↦ cmpt2 6795   ↑𝑚 cmap 8009  Fincfn 8109  Basecbs 16064  .rcmulr 16150   Σg cgsu 16309  CMndccmn 18400  Ringcrg 18755   maMul cmmul 20406 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-ot 4325  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-mamu 20407 This theorem is referenced by:  mamuass  20425  mamudi  20426  mamudir  20427  mamuvs1  20428  mamuvs2  20429  mamulid  20464  mamurid  20465  matring  20466  matassa  20467  mavmulass  20573
 Copyright terms: Public domain W3C validator