Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  madjusmdetlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Lemma for madjusmdet 30206. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
madjusmdet.a 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
madjusmdetlem2.p 𝑃 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
madjusmdetlem2.s 𝑆 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑖 = 1, 𝑁, if(𝑖𝑁, (𝑖 − 1), 𝑖)))
Assertion
Ref Expression
madjusmdetlem2 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = ((𝑃𝑆)‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑅,𝑖   𝜑,𝑖   𝑆,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐷(𝑖)   · (𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐾(𝑖)   𝑋(𝑖)   𝑍(𝑖)

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 madjusmdet.n . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 nnuz 11916 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
31, 2syl6eleq 2849 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
4 eluzfz2 12542 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (1...𝑁))
6 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) = (1...𝑁)
7 madjusmdetlem2.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑖 = 1, 𝑁, if(𝑖𝑁, (𝑖 − 1), 𝑖)))
8 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (SymGrp‘(1...𝑁)) = (SymGrp‘(1...𝑁))
9 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(SymGrp‘(1...𝑁))) = (Base‘(SymGrp‘(1...𝑁)))
106, 7, 8, 9fzto1st 30162 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (1...𝑁) → 𝑆 ∈ (Base‘(SymGrp‘(1...𝑁))))
115, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ (Base‘(SymGrp‘(1...𝑁))))
128, 9symgbasf1o 18003 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (Base‘(SymGrp‘(1...𝑁))) → 𝑆:(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁))
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆:(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁))
1413adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑆:(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁))
15 fznatpl1 12588 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁))
161, 15sylan 489 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁))
17 eqeq1 2764 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑥 → (𝑖 = 1 ↔ 𝑥 = 1))
18 breq1 4807 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑥 → (𝑖𝑁𝑥𝑁))
19 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑥 → (𝑖 − 1) = (𝑥 − 1))
20 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑥𝑖 = 𝑥)
2118, 19, 20ifbieq12d 4257 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑥 → if(𝑖𝑁, (𝑖 − 1), 𝑖) = if(𝑥𝑁, (𝑥 − 1), 𝑥))
2217, 21ifbieq2d 4255 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑥 → if(𝑖 = 1, 𝑁, if(𝑖𝑁, (𝑖 − 1), 𝑖)) = if(𝑥 = 1, 𝑁, if(𝑥𝑁, (𝑥 − 1), 𝑥)))
2322cbvmptv 4902 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑖 = 1, 𝑁, if(𝑖𝑁, (𝑖 − 1), 𝑖))) = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑥 = 1, 𝑁, if(𝑥𝑁, (𝑥 − 1), 𝑥)))
247, 23eqtri 2782 . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑥 = 1, 𝑁, if(𝑥𝑁, (𝑥 − 1), 𝑥)))
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑆 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑥 = 1, 𝑁, if(𝑥𝑁, (𝑥 − 1), 𝑥))))
26 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 𝑥 = (𝑋 + 1))
27 1red 10247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
28 fz1ssnn 12565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ
29 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
3028, 29sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑋 ∈ ℕ)
3130nnrpd 12063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑋 ∈ ℝ+)
3231adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
3327, 32ltaddrp2d 12099 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 1 < (𝑋 + 1))
3427, 33ltned 10365 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 1 ≠ (𝑋 + 1))
3534necomd 2987 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → (𝑋 + 1) ≠ 1)
3626, 35eqnetrd 2999 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 𝑥 ≠ 1)
3736neneqd 2937 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → ¬ 𝑥 = 1)
3837iffalsed 4241 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → if(𝑥 = 1, 𝑁, if(𝑥𝑁, (𝑥 − 1), 𝑥)) = if(𝑥𝑁, (𝑥 − 1), 𝑥))
391adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
4030nnnn0d 11543 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑋 ∈ ℕ0)
4139nnnn0d 11543 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
42 elfzle2 12538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑋 ≤ (𝑁 − 1))
4329, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑋 ≤ (𝑁 − 1))
44 nn0ltlem1 11629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 < 𝑁𝑋 ≤ (𝑁 − 1)))
4544biimpar 503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ (𝑁 − 1)) → 𝑋 < 𝑁)
4640, 41, 43, 45syl21anc 1476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑋 < 𝑁)
47 nnltp1le 11625 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 < 𝑁 ↔ (𝑋 + 1) ≤ 𝑁))
4847biimpa 502 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 < 𝑁) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑁)
4930, 39, 46, 48syl21anc 1476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑁)
5049adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑁)
5126, 50eqbrtrd 4826 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 𝑥𝑁)
5251iftrued 4238 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → if(𝑥𝑁, (𝑥 − 1), 𝑥) = (𝑥 − 1))
5326oveq1d 6828 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → (𝑥 − 1) = ((𝑋 + 1) − 1))
5430nncnd 11228 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑋 ∈ ℂ)
55 1cnd 10248 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
5654, 55pncand 10585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑋 + 1) − 1) = 𝑋)
5756adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → ((𝑋 + 1) − 1) = 𝑋)
5853, 57eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → (𝑥 − 1) = 𝑋)
5938, 52, 583eqtrd 2798 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → if(𝑥 = 1, 𝑁, if(𝑥𝑁, (𝑥 − 1), 𝑥)) = 𝑋)
6025, 59, 16, 29fvmptd 6450 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑆‘(𝑋 + 1)) = 𝑋)
6160idi 2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑆‘(𝑋 + 1)) = 𝑋)
62 f1ocnvfv 6697 . . . . . . . 8 ((𝑆:(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁) ∧ (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑆‘(𝑋 + 1)) = 𝑋 → (𝑆𝑋) = (𝑋 + 1)))
6362imp 444 . . . . . . 7 (((𝑆:(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁) ∧ (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑆‘(𝑋 + 1)) = 𝑋) → (𝑆𝑋) = (𝑋 + 1))
6414, 16, 61, 63syl21anc 1476 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑆𝑋) = (𝑋 + 1))
6564fveq2d 6356 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑃‘(𝑆𝑋)) = (𝑃‘(𝑋 + 1)))
6665adantr 472 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝑃‘(𝑆𝑋)) = (𝑃‘(𝑋 + 1)))
67 madjusmdetlem2.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
6820breq1d 4814 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑥 → (𝑖𝐼𝑥𝐼))
6968, 19, 20ifbieq12d 4257 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑥 → if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖) = if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥))
7017, 69ifbieq2d 4255 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑥 → if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)) = if(𝑥 = 1, 𝐼, if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥)))
7170cbvmptv 4902 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖))) = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑥 = 1, 𝐼, if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥)))
7267, 71eqtri 2782 . . . . . 6 𝑃 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑥 = 1, 𝐼, if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥)))
7372a1i 11 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑃 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑥 = 1, 𝐼, if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥))))
7433, 26breqtrrd 4832 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 1 < 𝑥)
7527, 74ltned 10365 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 1 ≠ 𝑥)
7675necomd 2987 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 𝑥 ≠ 1)
7776neneqd 2937 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → ¬ 𝑥 = 1)
7877iffalsed 4241 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → if(𝑥 = 1, 𝐼, if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥)) = if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥))
7978adantlr 753 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → if(𝑥 = 1, 𝐼, if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥)) = if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥))
80 simpr 479 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 𝑥 = (𝑋 + 1))
8130ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 𝑋 ∈ ℕ)
82 fz1ssnn 12565 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ ℕ
83 madjusmdet.i . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑁))
8482, 83sseldi 3742 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
8584ad3antrrr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 𝐼 ∈ ℕ)
86 simplr 809 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 𝑋 < 𝐼)
87 nnltp1le 11625 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → (𝑋 < 𝐼 ↔ (𝑋 + 1) ≤ 𝐼))
8887biimpa 502 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝑋 + 1) ≤ 𝐼)
8981, 85, 86, 88syl21anc 1476 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → (𝑋 + 1) ≤ 𝐼)
9080, 89eqbrtrd 4826 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 𝑥𝐼)
9190iftrued 4238 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥) = (𝑥 − 1))
9258adantlr 753 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → (𝑥 − 1) = 𝑋)
9379, 91, 923eqtrd 2798 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → if(𝑥 = 1, 𝐼, if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥)) = 𝑋)
9416adantr 472 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁))
95 simplr 809 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
9673, 93, 94, 95fvmptd 6450 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝑃‘(𝑋 + 1)) = 𝑋)
9766, 96eqtr2d 2795 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 = (𝑃‘(𝑆𝑋)))
9865adantr 472 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝑃‘(𝑆𝑋)) = (𝑃‘(𝑋 + 1)))
9972a1i 11 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑃 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑥 = 1, 𝐼, if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥))))
10078adantlr 753 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → if(𝑥 = 1, 𝐼, if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥)) = if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥))
10130ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑋 ∈ ℕ)
10284ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
10326adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥 = (𝑋 + 1))
104 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
105103, 104eqbrtrrd 4828 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑋 + 1) ≤ 𝐼)
10687biimpar 503 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 + 1) ≤ 𝐼) → 𝑋 < 𝐼)
107101, 102, 105, 106syl21anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑋 < 𝐼)
108107ex 449 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → (𝑥𝐼𝑋 < 𝐼))
109108con3d 148 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → (¬ 𝑋 < 𝐼 → ¬ 𝑥𝐼))
110109imp 444 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑥𝐼)
111110an32s 881 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → ¬ 𝑥𝐼)
112111iffalsed 4241 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥) = 𝑥)
113 simpr 479 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 𝑥 = (𝑋 + 1))
114112, 113eqtrd 2794 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥) = (𝑋 + 1))
115100, 114eqtrd 2794 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → if(𝑥 = 1, 𝐼, if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥)) = (𝑋 + 1))
11616adantr 472 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁))
11799, 115, 116, 116fvmptd 6450 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝑃‘(𝑋 + 1)) = (𝑋 + 1))
11898, 117eqtr2d 2795 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝑋 + 1) = (𝑃‘(𝑆𝑋)))
11997, 118ifeqda 4265 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = (𝑃‘(𝑆𝑋)))
120 f1ocnv 6310 . . . . . 6 (𝑆:(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁) → 𝑆:(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁))
12111, 12, 1203syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑆:(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁))
122 f1ofun 6300 . . . . 5 (𝑆:(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁) → Fun 𝑆)
123121, 122syl 17 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝑆)
124123adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → Fun 𝑆)
125 fzdif2 29860 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
1263, 125syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
127 difss 3880 . . . . . . 7 ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ⊆ (1...𝑁)
128126, 127syl6eqssr 3797 . . . . . 6 (𝜑 → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
129 f1odm 6302 . . . . . . 7 (𝑆:(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁) → dom 𝑆 = (1...𝑁))
130121, 129syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑆 = (1...𝑁))
131128, 130sseqtr4d 3783 . . . . 5 (𝜑 → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ dom 𝑆)
132131adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ dom 𝑆)
133132, 29sseldd 3745 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑋 ∈ dom 𝑆)
134 fvco 6436 . . 3 ((Fun 𝑆𝑋 ∈ dom 𝑆) → ((𝑃𝑆)‘𝑋) = (𝑃‘(𝑆𝑋)))
135124, 133, 134syl2anc 696 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑃𝑆)‘𝑋) = (𝑃‘(𝑆𝑋)))
136119, 135eqtr4d 2797 1 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = ((𝑃𝑆)‘𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ∖ cdif 3712   ⊆ wss 3715  ifcif 4230  {csn 4321   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ◡ccnv 5265  dom cdm 5266   ∘ ccom 5270  Fun wfun 6043  –1-1-onto→wf1o 6048  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  1c1 10129   + caddc 10131   < clt 10266   ≤ cle 10267   − cmin 10458  ℕcn 11212  ℕ0cn0 11484  ℤ≥cuz 11879  ℝ+crp 12025  ...cfz 12519  Basecbs 16059  .rcmulr 16144  SymGrpcsymg 17997  CRingccrg 18748  ℤRHomczrh 20050   Mat cmat 20415   maDet cmdat 20592   maAdju cmadu 20640 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-tset 16162  df-symg 17998  df-pmtr 18062 This theorem is referenced by:  madjusmdetlem3  30204
 Copyright terms: Public domain W3C validator