MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2detleiblem3 20658
Description: Lemma 3 for m2detleib 20660. (Contributed by AV, 16-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 2-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem2.n 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem2.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem2.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2detleiblem2.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2detleiblem2.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
m2detleiblem3.m · = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑄,𝑛   𝑅,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   · (𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem m2detleiblem3
StepHypRef Expression
1 m2detleiblem2.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2 eqid 2761 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2mgpbas 18716 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
4 m2detleiblem3.m . . 3 · = (+g𝐺)
5 fvex 6364 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) ∈ V
61, 5eqeltri 2836 . . . 4 𝐺 ∈ V
76a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 ∈ V)
8 1ex 10248 . . . . . . 7 1 ∈ V
9 2nn 11398 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
10 prex 5059 . . . . . . . . 9 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ V
1110prid1 4442 . . . . . . . 8 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
12 eqid 2761 . . . . . . . . 9 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
13 m2detleiblem2.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
14 m2detleiblem2.n . . . . . . . . 9 𝑁 = {1, 2}
1512, 13, 14symg2bas 18039 . . . . . . . 8 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
1611, 15syl5eleqr 2847 . . . . . . 7 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ 𝑃)
178, 9, 16mp2an 710 . . . . . 6 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ 𝑃
18 eleq1 2828 . . . . . 6 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑄𝑃 ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ 𝑃))
1917, 18mpbiri 248 . . . . 5 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → 𝑄𝑃)
20 m2detleiblem2.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2114oveq1i 6825 . . . . . . 7 (𝑁 Mat 𝑅) = ({1, 2} Mat 𝑅)
2220, 21eqtri 2783 . . . . . 6 𝐴 = ({1, 2} Mat 𝑅)
23 m2detleiblem2.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
2414fveq2i 6357 . . . . . . . 8 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘{1, 2})
2524fveq2i 6357 . . . . . . 7 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{1, 2}))
2613, 25eqtri 2783 . . . . . 6 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘{1, 2}))
2722, 23, 26matepmcl 20491 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → ∀𝑛 ∈ {1, 2} ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
2819, 27syl3an2 1168 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ∀𝑛 ∈ {1, 2} ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
29 mpteq1 4890 . . . . . 6 (𝑁 = {1, 2} → (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)) = (𝑛 ∈ {1, 2} ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)))
3014, 29ax-mp 5 . . . . 5 (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)) = (𝑛 ∈ {1, 2} ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))
3130fmpt 6546 . . . 4 (∀𝑛 ∈ {1, 2} ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)):{1, 2}⟶(Base‘𝑅))
3228, 31sylib 208 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)):{1, 2}⟶(Base‘𝑅))
333, 4, 7, 32gsumpr12val 17504 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))) = (((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) · ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2)))
348prid1 4442 . . . . . 6 1 ∈ {1, 2}
3534, 14eleqtrri 2839 . . . . 5 1 ∈ 𝑁
3620, 23, 13matepmcl 20491 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
3719, 36syl3an2 1168 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
38 fveq2 6354 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → (𝑄𝑛) = (𝑄‘1))
39 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → 𝑛 = 1)
4038, 39oveq12d 6833 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) = ((𝑄‘1)𝑀1))
4140eleq1d 2825 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝑄‘1)𝑀1) ∈ (Base‘𝑅)))
4241rspcva 3448 . . . . . 6 ((1 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑄‘1)𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
4335, 37, 42sylancr 698 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑄‘1)𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
44 eqid 2761 . . . . . 6 (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)) = (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))
4540, 44fvmptg 6444 . . . . 5 ((1 ∈ 𝑁 ∧ ((𝑄‘1)𝑀1) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) = ((𝑄‘1)𝑀1))
4635, 43, 45sylancr 698 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) = ((𝑄‘1)𝑀1))
47 fveq1 6353 . . . . . . 7 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑄‘1) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘1))
48 1ne2 11453 . . . . . . . 8 1 ≠ 2
498, 8fvpr1 6622 . . . . . . . 8 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘1) = 1)
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘1) = 1
5147, 50syl6eq 2811 . . . . . 6 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑄‘1) = 1)
52513ad2ant2 1129 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝑄‘1) = 1)
5352oveq1d 6830 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑄‘1)𝑀1) = (1𝑀1))
5446, 53eqtrd 2795 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) = (1𝑀1))
55 2ex 11305 . . . . . . 7 2 ∈ V
5655prid2 4443 . . . . . 6 2 ∈ {1, 2}
5756, 14eleqtrri 2839 . . . . 5 2 ∈ 𝑁
58 fveq2 6354 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 2 → (𝑄𝑛) = (𝑄‘2))
59 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 2 → 𝑛 = 2)
6058, 59oveq12d 6833 . . . . . . . 8 (𝑛 = 2 → ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) = ((𝑄‘2)𝑀2))
6160eleq1d 2825 . . . . . . 7 (𝑛 = 2 → (((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝑄‘2)𝑀2) ∈ (Base‘𝑅)))
6261rspcva 3448 . . . . . 6 ((2 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑄‘2)𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
6357, 37, 62sylancr 698 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑄‘2)𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
6460, 44fvmptg 6444 . . . . 5 ((2 ∈ 𝑁 ∧ ((𝑄‘2)𝑀2) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2) = ((𝑄‘2)𝑀2))
6557, 63, 64sylancr 698 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2) = ((𝑄‘2)𝑀2))
66 fveq1 6353 . . . . . . 7 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑄‘2) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘2))
6755, 55fvpr2 6623 . . . . . . . 8 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘2) = 2)
6848, 67ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘2) = 2
6966, 68syl6eq 2811 . . . . . 6 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑄‘2) = 2)
70693ad2ant2 1129 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝑄‘2) = 2)
7170oveq1d 6830 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑄‘2)𝑀2) = (2𝑀2))
7265, 71eqtrd 2795 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2) = (2𝑀2))
7354, 72oveq12d 6833 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) · ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2)) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
7433, 73eqtrd 2795 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  wral 3051  Vcvv 3341  {cpr 4324  cop 4328  cmpt 4882  wf 6046  cfv 6050  (class class class)co 6815  1c1 10150  cn 11233  2c2 11283  Basecbs 16080  +gcplusg 16164   Σg cgsu 16324  SymGrpcsymg 18018  mulGrpcmgp 18710  Ringcrg 18768   Mat cmat 20436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-ot 4331  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-sup 8516  df-card 8976  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-xnn0 11577  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-fz 12541  df-seq 13017  df-fac 13276  df-bc 13305  df-hash 13333  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-hom 16189  df-cco 16190  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-prds 16331  df-pws 16333  df-symg 18019  df-mgp 18711  df-sra 19395  df-rgmod 19396  df-dsmm 20299  df-frlm 20314  df-mat 20437
This theorem is referenced by:  m2detleib  20660
  Copyright terms: Public domain W3C validator