Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2detleiblem2 20636
 Description: Lemma 2 for m2detleib 20639. (Contributed by AV, 16-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 1-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem2.n 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem2.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem2.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2detleiblem2.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2detleiblem2.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑄,𝑛   𝑅,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem m2detleiblem2
StepHypRef Expression
1 m2detleiblem2.g . . 3 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2 eqid 2760 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2mgpbas 18695 . 2 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
41ringmgp 18753 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
543ad2ant1 1128 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
6 2eluzge1 11927 . . 3 2 ∈ (ℤ‘1)
76a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → 2 ∈ (ℤ‘1))
8 1z 11599 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
9 fzpr 12589 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
11 1p1e2 11326 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
1211preq2i 4416 . . . . 5 {1, (1 + 1)} = {1, 2}
1310, 12eqtri 2782 . . . 4 (1...(1 + 1)) = {1, 2}
14 df-2 11271 . . . . 5 2 = (1 + 1)
1514oveq2i 6824 . . . 4 (1...2) = (1...(1 + 1))
16 m2detleiblem2.n . . . 4 𝑁 = {1, 2}
1713, 15, 163eqtr4ri 2793 . . 3 𝑁 = (1...2)
1817a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → 𝑁 = (1...2))
19 m2detleiblem2.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
20 m2detleiblem2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
21 m2detleiblem2.p . . 3 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2219, 20, 21matepmcl 20470 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
233, 5, 7, 18, 22gsummptfzcl 18568 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {cpr 4323   ↦ cmpt 4881  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  1c1 10129   + caddc 10131  2c2 11262  ℤcz 11569  ℤ≥cuz 11879  ...cfz 12519  Basecbs 16059   Σg cgsu 16303  Mndcmnd 17495  SymGrpcsymg 17997  mulGrpcmgp 18689  Ringcrg 18747   Mat cmat 20415 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-seq 12996  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-hom 16168  df-cco 16169  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-prds 16310  df-pws 16312  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-symg 17998  df-mgp 18690  df-ring 18749  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-dsmm 20278  df-frlm 20293  df-mat 20416 This theorem is referenced by:  m2detleib  20639
 Copyright terms: Public domain W3C validator