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Theorem m1modmmod 42844
Description: An integer decreased by 1 modulo a positive integer minus the integer modulo the same modulus is either -1 or the modulus minus 1. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
m1modmmod ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1))

Proof of Theorem m1modmmod
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6822 . . . . 5 ((𝐴 mod 𝑁) = 0 → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − 0))
21adantl 473 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − 0))
3 peano2zm 11632 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
43zred 11694 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
54adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
6 nnrp 12055 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
76adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
85, 7modcld 12888 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ)
98recnd 10280 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℂ)
109subid1d 10593 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − 0) = ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
1110adantr 472 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − 0) = ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
12 mod0mul 42842 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) = 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁)))
1312imp 444 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁))
14 oveq1 6821 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (𝑥 · 𝑁) → (𝐴 − 1) = ((𝑥 · 𝑁) − 1))
1514oveq1d 6829 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (𝑥 · 𝑁) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = (((𝑥 · 𝑁) − 1) mod 𝑁))
16 zcn 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
17 nncn 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
1817adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
19 mulcl 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑁) ∈ ℂ)
2016, 18, 19syl2anr 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑁) ∈ ℂ)
2118adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
2220, 21npcand 10608 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 · 𝑁) − 𝑁) + 𝑁) = (𝑥 · 𝑁))
2322eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑁) = (((𝑥 · 𝑁) − 𝑁) + 𝑁))
2416adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
2524, 21mulsubfacd 10704 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑁) − 𝑁) = ((𝑥 − 1) · 𝑁))
2625oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 · 𝑁) − 𝑁) + 𝑁) = (((𝑥 − 1) · 𝑁) + 𝑁))
2723, 26eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑁) = (((𝑥 − 1) · 𝑁) + 𝑁))
2827oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑁) − 1) = ((((𝑥 − 1) · 𝑁) + 𝑁) − 1))
29 peano2zm 11632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ ℤ)
3029zcnd 11695 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ ℂ)
31 mulcl 10232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 1) · 𝑁) ∈ ℂ)
3230, 18, 31syl2anr 496 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 − 1) · 𝑁) ∈ ℂ)
33 1cnd 10268 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
3432, 21, 33addsubassd 10624 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((((𝑥 − 1) · 𝑁) + 𝑁) − 1) = (((𝑥 − 1) · 𝑁) + (𝑁 − 1)))
3528, 34eqtrd 2794 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑁) − 1) = (((𝑥 − 1) · 𝑁) + (𝑁 − 1)))
3635oveq1d 6829 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 · 𝑁) − 1) mod 𝑁) = ((((𝑥 − 1) · 𝑁) + (𝑁 − 1)) mod 𝑁))
37 nnre 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
38 peano2rem 10560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
4039recnd 10280 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
4140adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
4241adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
4332, 42addcomd 10450 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 − 1) · 𝑁) + (𝑁 − 1)) = ((𝑁 − 1) + ((𝑥 − 1) · 𝑁)))
4443oveq1d 6829 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((((𝑥 − 1) · 𝑁) + (𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (((𝑁 − 1) + ((𝑥 − 1) · 𝑁)) mod 𝑁))
4539adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
4645adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
477adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
4829adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 − 1) ∈ ℤ)
49 modcyc 12919 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℤ) → (((𝑁 − 1) + ((𝑥 − 1) · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝑁 − 1) mod 𝑁))
5046, 47, 48, 49syl3anc 1477 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑁 − 1) + ((𝑥 − 1) · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝑁 − 1) mod 𝑁))
5139, 6jca 555 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
5251adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
5352adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
54 nnm1ge0 11657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑁 − 1))
5554adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑁 − 1))
5655adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝑁 − 1))
5737ltm1d 11168 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < 𝑁)
5857adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
5958adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
60 modid 12909 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑁 − 1) ∧ (𝑁 − 1) < 𝑁)) → ((𝑁 − 1) mod 𝑁) = (𝑁 − 1))
6153, 56, 59, 60syl12anc 1475 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) mod 𝑁) = (𝑁 − 1))
6250, 61eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑁 − 1) + ((𝑥 − 1) · 𝑁)) mod 𝑁) = (𝑁 − 1))
6336, 44, 623eqtrd 2798 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 · 𝑁) − 1) mod 𝑁) = (𝑁 − 1))
6415, 63sylan9eqr 2816 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁)) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = (𝑁 − 1))
6564ex 449 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 = (𝑥 · 𝑁) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = (𝑁 − 1)))
6665rexlimdva 3169 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = (𝑁 − 1)))
6766adantr 472 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = (𝑁 − 1)))
6813, 67mpd 15 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = (𝑁 − 1))
692, 11, 683eqtrrd 2799 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → (𝑁 − 1) = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)))
70 df-ne 2933 . . . . 5 ((𝐴 mod 𝑁) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0)
71 modn0mul 42843 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦)))
72 oveq1 6821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) → (𝐴 − 1) = (((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) − 1))
7372oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = ((((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) − 1) mod 𝑁))
74 oveq1 6821 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) → (𝐴 mod 𝑁) = (((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) mod 𝑁))
7573, 74oveq12d 6832 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = (((((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) − 1) mod 𝑁) − (((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) mod 𝑁)))
7616adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
7776, 18, 19syl2anr 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (𝑥 · 𝑁) ∈ ℂ)
78 elfzoelz 12684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 𝑦 ∈ ℤ)
7978zcnd 11695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 𝑦 ∈ ℂ)
8079adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑦 ∈ ℂ)
8180adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → 𝑦 ∈ ℂ)
82 1cnd 10268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → 1 ∈ ℂ)
8377, 81, 82addsubassd 10624 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) − 1) = ((𝑥 · 𝑁) + (𝑦 − 1)))
84 peano2zm 11632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 − 1) ∈ ℤ)
8578, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → (𝑦 − 1) ∈ ℤ)
8685zcnd 11695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → (𝑦 − 1) ∈ ℂ)
8786adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑦 − 1) ∈ ℂ)
8887adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (𝑦 − 1) ∈ ℂ)
8977, 88addcomd 10450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑥 · 𝑁) + (𝑦 − 1)) = ((𝑦 − 1) + (𝑥 · 𝑁)))
9083, 89eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) − 1) = ((𝑦 − 1) + (𝑥 · 𝑁)))
9190oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) − 1) mod 𝑁) = (((𝑦 − 1) + (𝑥 · 𝑁)) mod 𝑁))
9285zred 11694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
9392adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
9493adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
957adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ+)
96 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → 𝑥 ∈ ℤ)
97 modcyc 12919 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑦 − 1) + (𝑥 · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝑦 − 1) mod 𝑁))
9894, 95, 96, 97syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝑦 − 1) + (𝑥 · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝑦 − 1) mod 𝑁))
9991, 98eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) − 1) mod 𝑁) = ((𝑦 − 1) mod 𝑁))
10077, 81addcomd 10450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) = (𝑦 + (𝑥 · 𝑁)))
101100oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) mod 𝑁) = ((𝑦 + (𝑥 · 𝑁)) mod 𝑁))
10278zred 11694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 𝑦 ∈ ℝ)
103102adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑦 ∈ ℝ)
104103adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → 𝑦 ∈ ℝ)
105 modcyc 12919 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑥 · 𝑁)) mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
106104, 95, 96, 105syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑦 + (𝑥 · 𝑁)) mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
1077, 103anim12ci 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
108 elfzole1 12692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 1 ≤ 𝑦)
109 0lt1 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 1
110 0red 10253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 0 ∈ ℝ)
111 1red 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 1 ∈ ℝ)
112 ltleletr 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑦) → 0 ≤ 𝑦))
113110, 111, 102, 112syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑦) → 0 ≤ 𝑦))
114109, 113mpani 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → (1 ≤ 𝑦 → 0 ≤ 𝑦))
115108, 114mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 0 ≤ 𝑦)
116 elfzolt2 12693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 𝑦 < 𝑁)
117115, 116jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → (0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁))
118117adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁))
119118adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁))
120107, 119jca 555 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁)))
121 modid 12909 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
123101, 106, 1223eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) mod 𝑁) = 𝑦)
12499, 123oveq12d 6832 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (((((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) − 1) mod 𝑁) − (((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) mod 𝑁)) = (((𝑦 − 1) mod 𝑁) − 𝑦))
12575, 124sylan9eqr 2816 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) ∧ 𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦)) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = (((𝑦 − 1) mod 𝑁) − 𝑦))
1267, 93anim12ci 592 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
127 elfzo2 12687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑦 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁))
128 eluz2 11905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑦))
129 zre 11593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
130 zre 11593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
131 subge0 10753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑦 − 1) ↔ 1 ≤ 𝑦))
132129, 130, 131syl2anr 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑦 − 1) ↔ 1 ≤ 𝑦))
133132biimp3ar 1582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑦) → 0 ≤ (𝑦 − 1))
134128, 133sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (ℤ‘1) → 0 ≤ (𝑦 − 1))
1351343ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ (𝑦 − 1))
136127, 135sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 0 ≤ (𝑦 − 1))
137136adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → 0 ≤ (𝑦 − 1))
138137adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → 0 ≤ (𝑦 − 1))
139 eluzelz 11909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ (ℤ‘1) → 𝑦 ∈ ℤ)
140139zred 11694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (ℤ‘1) → 𝑦 ∈ ℝ)
141 zre 11593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
142 ltle 10338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑁𝑦𝑁))
143140, 141, 142syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 < 𝑁𝑦𝑁))
1441433impia 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → 𝑦𝑁)
145139anim1i 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
1461453adant3 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
147 zlem1lt 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦𝑁 ↔ (𝑦 − 1) < 𝑁))
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝑦𝑁 ↔ (𝑦 − 1) < 𝑁))
149144, 148mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝑦 − 1) < 𝑁)
150149a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 − 1) < 𝑁))
151127, 150sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 − 1) < 𝑁))
152151adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 − 1) < 𝑁))
153152impcom 445 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (𝑦 − 1) < 𝑁)
154 modid 12909 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑦 − 1) ∧ (𝑦 − 1) < 𝑁)) → ((𝑦 − 1) mod 𝑁) = (𝑦 − 1))
155126, 138, 153, 154syl12anc 1475 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑦 − 1) mod 𝑁) = (𝑦 − 1))
156155oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝑦 − 1) mod 𝑁) − 𝑦) = ((𝑦 − 1) − 𝑦))
157 1cnd 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 1 ∈ ℂ)
15879, 157, 79sub32d 10636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑦 − 1) − 𝑦) = ((𝑦𝑦) − 1))
15979subidd 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → (𝑦𝑦) = 0)
160159oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑦𝑦) − 1) = (0 − 1))
161158, 160eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑦 − 1) − 𝑦) = (0 − 1))
162161adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑦 − 1) − 𝑦) = (0 − 1))
163162adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑦 − 1) − 𝑦) = (0 − 1))
164 df-neg 10481 . . . . . . . . . . . . 13 -1 = (0 − 1)
165163, 164syl6eqr 2812 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑦 − 1) − 𝑦) = -1)
166156, 165eqtrd 2794 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝑦 − 1) mod 𝑁) − 𝑦) = -1)
167166adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) ∧ 𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦)) → (((𝑦 − 1) mod 𝑁) − 𝑦) = -1)
168125, 167eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) ∧ 𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦)) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = -1)
169168eqcomd 2766 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) ∧ 𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦)) → -1 = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)))
170169ex 449 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) → -1 = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁))))
171170rexlimdvva 3176 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) → -1 = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁))))
17271, 171syld 47 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) ≠ 0 → -1 = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁))))
17370, 172syl5bir 233 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0 → -1 = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁))))
174173imp 444 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → -1 = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)))
17569, 174ifeqda 4265 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)))
176175eqcomd 2766 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   < clt 10286  cle 10287  cmin 10478  -cneg 10479  cn 11232  cz 11589  cuz 11899  +crp 12045  ..^cfzo 12679   mod cmo 12882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883
This theorem is referenced by:  dignn0flhalflem1  42937
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