Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1expo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1expo 15299
 Description: Exponentiation of -1 by an odd power. (Contributed by AV, 26-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
m1expo ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)

Proof of Theorem m1expo
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 15272 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
2 oveq2 6800 . . . . . . 7 (𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
32eqcoms 2778 . . . . . 6 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
4 neg1cn 11325 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
6 neg1ne0 11327 . . . . . . . . . 10 -1 ≠ 0
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → -1 ≠ 0)
8 2z 11610 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
10 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
119, 10zmulcld 11689 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
125, 7, 11expp1zd 13223 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1))
13 m1expeven 13113 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑛)) = 1)
1413oveq1d 6807 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = (1 · -1))
154mulid2i 10244 . . . . . . . . 9 (1 · -1) = -1
1614, 15syl6eq 2820 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = -1)
1712, 16eqtrd 2804 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = -1)
1817adantl 467 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = -1)
193, 18sylan9eqr 2826 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)
2019ex 397 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1))
2120rexlimdva 3178 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1))
221, 21sylbid 230 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1))
2322imp 393 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942  ∃wrex 3061   class class class wbr 4784  (class class class)co 6792  ℂcc 10135  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142  -cneg 10468  2c2 11271  ℤcz 11578  ↑cexp 13066   ∥ cdvds 15188 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-seq 13008  df-exp 13067  df-dvds 15189 This theorem is referenced by:  2lgsoddprm  25361
 Copyright terms: Public domain W3C validator