MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1expeven Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1expeven 13114
Description: Exponentiation of negative one to an even power. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
m1expeven (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)

Proof of Theorem m1expeven
StepHypRef Expression
1 zcn 11589 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
212timesd 11482 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
32oveq2d 6812 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = (-1↑(𝑁 + 𝑁)))
4 neg1cn 11330 . . . 4 -1 ∈ ℂ
5 neg1ne0 11332 . . . 4 -1 ≠ 0
6 expaddz 13111 . . . 4 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
74, 5, 6mpanl12 682 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
87anidms 556 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
9 m1expcl2 13089 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
10 ovex 6827 . . . . 5 (-1↑𝑁) ∈ V
1110elpr 4339 . . . 4 ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} ↔ ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1))
12 oveq12 6805 . . . . . . 7 (((-1↑𝑁) = -1 ∧ (-1↑𝑁) = -1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (-1 · -1))
1312anidms 556 . . . . . 6 ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (-1 · -1))
14 neg1mulneg1e1 11452 . . . . . 6 (-1 · -1) = 1
1513, 14syl6eq 2821 . . . . 5 ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
16 oveq12 6805 . . . . . . 7 (((-1↑𝑁) = 1 ∧ (-1↑𝑁) = 1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (1 · 1))
1716anidms 556 . . . . . 6 ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (1 · 1))
18 1t1e1 11382 . . . . . 6 (1 · 1) = 1
1917, 18syl6eq 2821 . . . . 5 ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
2015, 19jaoi 846 . . . 4 (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
2111, 20sylbi 207 . . 3 ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
229, 21syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
233, 8, 223eqtrd 2809 1 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  {cpr 4319  (class class class)co 6796  cc 10140  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147  -cneg 10473  2c2 11276  cz 11584  cexp 13067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-seq 13009  df-exp 13068
This theorem is referenced by:  fallrisefac  14962  m1expe  15299  m1expo  15300  m1exp1  15301  gausslemma2d  25320  stirlinglem5  40809
  Copyright terms: Public domain W3C validator