MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1expcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1expcl2 13089
Description: Closure of exponentiation of negative one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1expcl2 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})

Proof of Theorem m1expcl2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negex 10481 . . 3 -1 ∈ V
21prid1 4433 . 2 -1 ∈ {-1, 1}
3 neg1ne0 11328 . 2 -1 ≠ 0
4 neg1cn 11326 . . . 4 -1 ∈ ℂ
5 ax-1cn 10196 . . . 4 1 ∈ ℂ
6 prssi 4487 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → {-1, 1} ⊆ ℂ)
74, 5, 6mp2an 672 . . 3 {-1, 1} ⊆ ℂ
8 elpri 4337 . . . . 5 (𝑥 ∈ {-1, 1} → (𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1))
97sseli 3748 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {-1, 1} → 𝑦 ∈ ℂ)
109mulm1d 10684 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {-1, 1} → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
11 elpri 4337 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑦 = -1 ∨ 𝑦 = 1))
12 negeq 10475 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = -1 → -𝑦 = --1)
13 negneg1e1 11330 . . . . . . . . . . . 12 --1 = 1
14 1ex 10237 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ V
1514prid2 4434 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ {-1, 1}
1613, 15eqeltri 2846 . . . . . . . . . . 11 --1 ∈ {-1, 1}
1712, 16syl6eqel 2858 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = -1 → -𝑦 ∈ {-1, 1})
18 negeq 10475 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 1 → -𝑦 = -1)
1918, 2syl6eqel 2858 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 1 → -𝑦 ∈ {-1, 1})
2017, 19jaoi 844 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = -1 ∨ 𝑦 = 1) → -𝑦 ∈ {-1, 1})
2111, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {-1, 1} → -𝑦 ∈ {-1, 1})
2210, 21eqeltrd 2850 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {-1, 1} → (-1 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
23 oveq1 6800 . . . . . . . 8 (𝑥 = -1 → (𝑥 · 𝑦) = (-1 · 𝑦))
2423eleq1d 2835 . . . . . . 7 (𝑥 = -1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1} ↔ (-1 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
2522, 24syl5ibr 236 . . . . . 6 (𝑥 = -1 → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
269mulid2d 10260 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {-1, 1} → (1 · 𝑦) = 𝑦)
27 id 22 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {-1, 1} → 𝑦 ∈ {-1, 1})
2826, 27eqeltrd 2850 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {-1, 1} → (1 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
29 oveq1 6800 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 𝑦))
3029eleq1d 2835 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1} ↔ (1 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
3128, 30syl5ibr 236 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
3225, 31jaoi 844 . . . . 5 ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
338, 32syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ {-1, 1} → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
3433imp 393 . . 3 ((𝑥 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑦 ∈ {-1, 1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
35 oveq2 6801 . . . . . . 7 (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) = (1 / -1))
36 ax-1ne0 10207 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 0
37 divneg2 10951 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
385, 5, 36, 37mp3an 1572 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = (1 / -1)
39 1div1e1 10919 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
4039negeqi 10476 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = -1
4138, 40eqtr3i 2795 . . . . . . . 8 (1 / -1) = -1
4241, 2eqeltri 2846 . . . . . . 7 (1 / -1) ∈ {-1, 1}
4335, 42syl6eqel 2858 . . . . . 6 (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
44 oveq2 6801 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
4539, 15eqeltri 2846 . . . . . . 7 (1 / 1) ∈ {-1, 1}
4644, 45syl6eqel 2858 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
4743, 46jaoi 844 . . . . 5 ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
488, 47syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ {-1, 1} → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
4948adantr 466 . . 3 ((𝑥 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
507, 34, 15, 49expcl2lem 13079 . 2 ((-1 ∈ {-1, 1} ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
512, 3, 50mp3an12 1562 1 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 834   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wss 3723  {cpr 4318  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   · cmul 10143  -cneg 10469   / cdiv 10886  cz 11579  cexp 13067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-seq 13009  df-exp 13068
This theorem is referenced by:  m1expcl  13090  m1expeven  13114  m1expaddsub  18125  psgnran  18142  psgnghm  20141  gausslemma2dlem0i  25310  lgseisenlem2  25322  madjusmdetlem4  30236  lighneallem4  42055
  Copyright terms: Public domain W3C validator