Theorem lvolnelpln 34702

Description: No lattice volume is a lattice plane. (Contributed by NM, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvolnelpln.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
lvolnelpln.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvolnelpln	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem lvolnelpln

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 34476	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2621	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		lvolnelpln.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
4	2, 3	lvolbase 34690	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5		eqid 2621	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6	2, 5	latref 17047	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
7	1, 4, 6	syl2an 494	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
8		lvolnelpln.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
9	5, 8, 3	lvolnlelpln 34697	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
10	9	3expia 1266	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ 𝑃 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋))
11	7, 10	mt2d 131	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1482   ∈ wcel 1989   class class class wbr 4651  ‘cfv 5886  Basecbs 15851  lecple 15942  Latclat 17039  HLchlt 34463  LPlanesclpl 34604  LVolsclvol 34605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-preset 16922  df-poset 16940  df-plt 16952  df-lub 16968  df-glb 16969  df-join 16970  df-meet 16971  df-p0 17033  df-lat 17040  df-clat 17102  df-oposet 34289  df-ol 34291  df-oml 34292  df-covers 34379  df-ats 34380  df-atl 34411  df-cvlat 34435  df-hlat 34464  df-llines 34610  df-lplanes 34611  df-lvols 34612

This theorem is referenced by:  lplncvrlvol2  34727  lplncvrlvol  34728