Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvolnelpln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvolnelpln 35391
Description: No lattice volume is a lattice plane. (Contributed by NM, 19-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolnelpln.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
lvolnelpln.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lvolnelpln ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) → ¬ 𝑋𝑃)

Proof of Theorem lvolnelpln
StepHypRef Expression
1 hllat 35165 . . 3 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2 eqid 2770 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 lvolnelpln.v . . . 4 𝑉 = (LVols‘𝐾)
42, 3lvolbase 35379 . . 3 (𝑋𝑉𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5 eqid 2770 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
62, 5latref 17260 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
71, 4, 6syl2an 575 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
8 lvolnelpln.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
95, 8, 3lvolnlelpln 35386 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑋𝑃) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
1093expia 1113 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋𝑃 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋))
117, 10mt2d 133 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) → ¬ 𝑋𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144   class class class wbr 4784  cfv 6031  Basecbs 16063  lecple 16155  Latclat 17252  HLchlt 35152  LPlanesclpl 35293  LVolsclvol 35294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-preset 17135  df-poset 17153  df-plt 17165  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-p0 17246  df-lat 17253  df-clat 17315  df-oposet 34978  df-ol 34980  df-oml 34981  df-covers 35068  df-ats 35069  df-atl 35100  df-cvlat 35124  df-hlat 35153  df-llines 35299  df-lplanes 35300  df-lvols 35301
This theorem is referenced by:  lplncvrlvol2  35416  lplncvrlvol  35417
  Copyright terms: Public domain W3C validator