Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvolnelln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvolnelln 34701
Description: No lattice volume is a lattice line. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolnelln.l 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lvolnelln.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lvolnelln ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) → ¬ 𝑋𝑁)

Proof of Theorem lvolnelln
StepHypRef Expression
1 hllat 34476 . . 3 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 lvolnelln.v . . . 4 𝑉 = (LVols‘𝐾)
42, 3lvolbase 34690 . . 3 (𝑋𝑉𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5 eqid 2621 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
62, 5latref 17047 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
71, 4, 6syl2an 494 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
8 lvolnelln.l . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
95, 8, 3lvolnlelln 34696 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑋𝑁) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
1093expia 1266 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋𝑁 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋))
117, 10mt2d 131 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) → ¬ 𝑋𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989   class class class wbr 4651  cfv 5886  Basecbs 15851  lecple 15942  Latclat 17039  HLchlt 34463  LLinesclln 34603  LVolsclvol 34605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-preset 16922  df-poset 16940  df-plt 16952  df-lub 16968  df-glb 16969  df-join 16970  df-meet 16971  df-p0 17033  df-lat 17040  df-clat 17102  df-oposet 34289  df-ol 34291  df-oml 34292  df-covers 34379  df-ats 34380  df-atl 34411  df-cvlat 34435  df-hlat 34464  df-llines 34610  df-lplanes 34611  df-lvols 34612
This theorem is referenced by:  lplncvrlvol  34728
  Copyright terms: Public domain W3C validator