Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvolcmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvolcmp 35424
Description: If two lattice planes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 12-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolcmp.l = (le‘𝐾)
lvolcmp.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lvolcmp ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem lvolcmp
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑋𝑉)
2 simp1 1131 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝐾 ∈ HL)
3 eqid 2760 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 lvolcmp.v . . . . . . 7 𝑉 = (LVols‘𝐾)
53, 4lvolbase 35385 . . . . . 6 (𝑋𝑉𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
653ad2ant2 1129 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
7 eqid 2760 . . . . . 6 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
8 eqid 2760 . . . . . 6 (LPlanes‘𝐾) = (LPlanes‘𝐾)
93, 7, 8, 4islvol4 35381 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋𝑉 ↔ ∃𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
102, 6, 9syl2anc 696 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋𝑉 ↔ ∃𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
111, 10mpbid 222 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ∃𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
12 simpr3 1238 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑋 𝑌)
13 hlpos 35173 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
14133ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝐾 ∈ Poset)
1514adantr 472 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ Poset)
166adantr 472 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
17 simpl3 1232 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑌𝑉)
183, 4lvolbase 35385 . . . . . . . 8 (𝑌𝑉𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
20 simpr1 1234 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾))
213, 8lplnbase 35341 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
23 simpr2 1236 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
24 simpl1 1228 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
25 lvolcmp.l . . . . . . . . . . 11 = (le‘𝐾)
263, 25, 7cvrle 35086 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑧 𝑋)
2724, 22, 16, 23, 26syl31anc 1480 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 𝑋)
283, 25postr 17174 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑧 𝑋𝑋 𝑌) → 𝑧 𝑌))
2915, 22, 16, 19, 28syl13anc 1479 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → ((𝑧 𝑋𝑋 𝑌) → 𝑧 𝑌))
3027, 12, 29mp2and 717 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 𝑌)
3125, 7, 8, 4lplncvrlvol2 35422 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑧 𝑌) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
3224, 20, 17, 30, 31syl31anc 1480 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
333, 25, 7cvrcmp 35091 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑌)) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
3415, 16, 19, 22, 23, 32, 33syl132anc 1495 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
3512, 34mpbid 222 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
36353exp2 1448 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) → (𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋 → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))))
3736rexlimdv 3168 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (∃𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋 → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌)))
3811, 37mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
393, 25posref 17172 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋 𝑋)
4014, 6, 39syl2anc 696 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑋 𝑋)
41 breq2 4808 . . 3 (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 𝑋𝑋 𝑌))
4240, 41syl5ibcom 235 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 = 𝑌𝑋 𝑌))
4338, 42impbid 202 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051   class class class wbr 4804  cfv 6049  Basecbs 16079  lecple 16170  Posetcpo 17161  ccvr 35070  HLchlt 35158  LPlanesclpl 35299  LVolsclvol 35300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-lat 17267  df-clat 17329  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-llines 35305  df-lplanes 35306  df-lvols 35307
This theorem is referenced by:  lvolnltN  35425  2lplnja  35426
  Copyright terms: Public domain W3C validator