Theorem lvecprop2d 19368

Description: If two structures have the same components (properties), one is a left vector space iff the other one is. This version of lvecpropd 19369 also breaks up the components of the scalar ring. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecprop2d.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
lvecprop2d.b2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
lvecprop2d.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐾)
lvecprop2d.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝐿)
lvecprop2d.p1	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐹))
lvecprop2d.p2	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐺))
lvecprop2d.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
lvecprop2d.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
lvecprop2d.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(.r‘𝐹)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐺)𝑦))
lvecprop2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
lvecprop2d	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LVec ↔ 𝐿 ∈ LVec))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem lvecprop2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecprop2d.b1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		lvecprop2d.b2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		lvecprop2d.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐾)
4		lvecprop2d.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝐿)
5		lvecprop2d.p1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐹))
6		lvecprop2d.p2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐺))
7		lvecprop2d.1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
8		lvecprop2d.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
9		lvecprop2d.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(.r‘𝐹)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐺)𝑦))
10		lvecprop2d.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lmodprop2d 19127	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))
12	5, 6, 8, 9	drngpropd 18976	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ DivRing ↔ 𝐺 ∈ DivRing))
13	11, 12	anbi12d 749	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing) ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ DivRing)))
14	3	islvec 19306	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ LVec ↔ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing))
15	4	islvec 19306	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ LVec ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ DivRing))
16	13, 14, 15	3bitr4g 303	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LVec ↔ 𝐿 ∈ LVec))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  +_gcplusg 16143  ._rcmulr 16144  Scalarcsca 16146   ·_𝑠 cvsca 16147  DivRingcdr 18949  LModclmod 19065  LVecclvec 19304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-drng 18951  df-lmod 19067  df-lvec 19305

This theorem is referenced by:  hlhillvec  37745