MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubval 17177
Description: Value of the least upper bound function of a poset. Out-of-domain arguments (those not satisfying 𝑆 ∈ dom 𝑈) are allowed for convenience, evaluating to the empty set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubval.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubval.l = (le‘𝐾)
lubval.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
lubval.p (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
lubval.k (𝜑𝐾𝑉)
lubval.s (𝜑𝑆𝐵)
Assertion
Ref Expression
lubval (𝜑 → (𝑈𝑆) = (𝑥𝐵 𝜓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝑦,𝐾,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧)   (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lubval
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 lubval.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
3 lubval.u . . . . 5 𝑈 = (lub‘𝐾)
4 biid 251 . . . . 5 ((∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
5 lubval.k . . . . . 6 (𝜑𝐾𝑉)
65adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → 𝐾𝑉)
71, 2, 3, 4, 6lubfval 17171 . . . 4 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → 𝑈 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))}))
87fveq1d 6346 . . 3 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → (𝑈𝑆) = (((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))})‘𝑆))
9 lubval.p . . . . . 6 (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
10 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → 𝑆 ∈ dom 𝑈)
111, 2, 3, 9, 6, 10lubeu 17176 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → ∃!𝑥𝐵 𝜓)
12 raleq 3269 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 → (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦 𝑥))
13 raleq 3269 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑆 → (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧))
1413imbi1d 330 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑆 → ((∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
1514ralbidv 3116 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 → (∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧) ↔ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
1612, 15anbi12d 749 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 → ((∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
1716, 9syl6bbr 278 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 → ((∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)) ↔ 𝜓))
1817reubidv 3257 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 → (∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)) ↔ ∃!𝑥𝐵 𝜓))
1918elabg 3483 . . . . . 6 (𝑆 ∈ dom 𝑈 → (𝑆 ∈ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))} ↔ ∃!𝑥𝐵 𝜓))
2019adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → (𝑆 ∈ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))} ↔ ∃!𝑥𝐵 𝜓))
2111, 20mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → 𝑆 ∈ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))})
22 fvres 6360 . . . 4 (𝑆 ∈ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))} → (((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))})‘𝑆) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))‘𝑆))
2321, 22syl 17 . . 3 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → (((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))})‘𝑆) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))‘𝑆))
24 lubval.s . . . . . 6 (𝜑𝑆𝐵)
2524adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → 𝑆𝐵)
26 fvex 6354 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) ∈ V
271, 26eqeltri 2827 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
2827elpw2 4969 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑆𝐵)
2925, 28sylibr 224 . . . 4 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
3017riotabidv 6768 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))) = (𝑥𝐵 𝜓))
31 eqid 2752 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
32 riotaex 6770 . . . . 5 (𝑥𝐵 𝜓) ∈ V
3330, 31, 32fvmpt 6436 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))‘𝑆) = (𝑥𝐵 𝜓))
3429, 33syl 17 . . 3 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))‘𝑆) = (𝑥𝐵 𝜓))
358, 23, 343eqtrd 2790 . 2 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → (𝑈𝑆) = (𝑥𝐵 𝜓))
36 ndmfv 6371 . . . 4 𝑆 ∈ dom 𝑈 → (𝑈𝑆) = ∅)
3736adantl 473 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ dom 𝑈) → (𝑈𝑆) = ∅)
381, 2, 3, 9, 5lubeldm 17174 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓)))
3938biimprd 238 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓) → 𝑆 ∈ dom 𝑈))
4024, 39mpand 713 . . . . 5 (𝜑 → (∃!𝑥𝐵 𝜓𝑆 ∈ dom 𝑈))
4140con3dimp 456 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ dom 𝑈) → ¬ ∃!𝑥𝐵 𝜓)
42 riotaund 6802 . . . 4 (¬ ∃!𝑥𝐵 𝜓 → (𝑥𝐵 𝜓) = ∅)
4341, 42syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ dom 𝑈) → (𝑥𝐵 𝜓) = ∅)
4437, 43eqtr4d 2789 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ dom 𝑈) → (𝑈𝑆) = (𝑥𝐵 𝜓))
4535, 44pm2.61dan 867 1 (𝜑 → (𝑈𝑆) = (𝑥𝐵 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  {cab 2738  wral 3042  ∃!wreu 3044  Vcvv 3332  wss 3707  c0 4050  𝒫 cpw 4294   class class class wbr 4796  cmpt 4873  dom cdm 5258  cres 5260  cfv 6041  crio 6765  Basecbs 16051  lecple 16142  lubclub 17135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-lub 17167
This theorem is referenced by:  lubcl  17178  lubprop  17179  lubid  17183  joinval2  17202  lubun  17316  poslubd  17341  toslub  29969  lub0N  34971  glbconN  35158
  Copyright terms: Public domain W3C validator