Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubss 17342
 Description: Subset law for least upper bounds. (chsupss 28531 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lublem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublem.l = (le‘𝐾)
lublem.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lubss ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝑈𝑆) (𝑈𝑇))

Proof of Theorem lubss
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → 𝐾 ∈ CLat)
2 sstr2 3751 . . . . 5 (𝑆𝑇 → (𝑇𝐵𝑆𝐵))
32impcom 445 . . . 4 ((𝑇𝐵𝑆𝑇) → 𝑆𝐵)
433adant1 1125 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → 𝑆𝐵)
5 lublem.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 lublem.u . . . . 5 𝑈 = (lub‘𝐾)
75, 6clatlubcl 17333 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
873adant3 1127 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
91, 4, 83jca 1123 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝑈𝑇) ∈ 𝐵))
10 simpl1 1228 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
11 simpl2 1230 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑇𝐵)
12 ssel2 3739 . . . . 5 ((𝑆𝑇𝑦𝑆) → 𝑦𝑇)
13123ad2antl3 1203 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑇)
14 lublem.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
155, 14, 6lubub 17340 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑦𝑇) → 𝑦 (𝑈𝑇))
1610, 11, 13, 15syl3anc 1477 . . 3 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 (𝑈𝑇))
1716ralrimiva 3104 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → ∀𝑦𝑆 𝑦 (𝑈𝑇))
185, 14, 6lubl 17341 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝑈𝑇) ∈ 𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦 (𝑈𝑇) → (𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
199, 17, 18sylc 65 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝑈𝑆) (𝑈𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  Basecbs 16079  lecple 16170  lubclub 17163  CLatccla 17328 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-lub 17195  df-glb 17196  df-clat 17329 This theorem is referenced by:  lubel  17343  atlatmstc  35127  atlatle  35128  pmaple  35568  paddunN  35734  poml4N  35760
 Copyright terms: Public domain W3C validator