MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubsn 17301
Description: The least upper bound of a singleton. (chsupsn 28606 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lubsn.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubsn.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lubsn ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)

Proof of Theorem lubsn
StepHypRef Expression
1 lubsn.u . . . 4 𝑈 = (lub‘𝐾)
2 eqid 2770 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3 simpl 468 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simpr 471 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
51, 2, 3, 4, 4joinval 17212 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(join‘𝐾)𝑋) = (𝑈‘{𝑋, 𝑋}))
6 dfsn2 4327 . . . 4 {𝑋} = {𝑋, 𝑋}
76fveq2i 6335 . . 3 (𝑈‘{𝑋}) = (𝑈‘{𝑋, 𝑋})
85, 7syl6reqr 2823 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = (𝑋(join‘𝐾)𝑋))
9 lubsn.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
109, 2latjidm 17281 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(join‘𝐾)𝑋) = 𝑋)
118, 10eqtrd 2804 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  {csn 4314  {cpr 4316  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  lubclub 17149  joincjn 17151  Latclat 17252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-preset 17135  df-poset 17153  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-lat 17253
This theorem is referenced by:  lubel  17329
  Copyright terms: Public domain W3C validator