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Theorem lubfval 17100
Description: Value of the least upper bound function of a poset. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubfval.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubfval.l = (le‘𝐾)
lubfval.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
lubfval.p (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
lubfval.k (𝜑𝐾𝑉)
Assertion
Ref Expression
lubfval (𝜑𝑈 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑧,𝐵   𝑦,𝑠,𝐾,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝐵(𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   (𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem lubfval
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubfval.k . 2 (𝜑𝐾𝑉)
2 elex 3316 . 2 (𝐾𝑉𝐾 ∈ V)
3 fveq2 6304 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝐾 → (Base‘𝑝) = (Base‘𝐾))
4 lubfval.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
53, 4syl6eqr 2776 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐾 → (Base‘𝑝) = 𝐵)
65pweqd 4271 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐾 → 𝒫 (Base‘𝑝) = 𝒫 𝐵)
7 fveq2 6304 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝐾 → (le‘𝑝) = (le‘𝐾))
8 lubfval.l . . . . . . . . . . 11 = (le‘𝐾)
97, 8syl6eqr 2776 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝐾 → (le‘𝑝) = )
109breqd 4771 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝐾 → (𝑦(le‘𝑝)𝑥𝑦 𝑥))
1110ralbidv 3088 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝐾 → (∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ↔ ∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥))
129breqd 4771 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝐾 → (𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑦 𝑧))
1312ralbidv 3088 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝐾 → (∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧 ↔ ∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧))
149breqd 4771 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝐾 → (𝑥(le‘𝑝)𝑧𝑥 𝑧))
1513, 14imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝐾 → ((∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧) ↔ (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
165, 15raleqbidv 3255 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝐾 → (∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧) ↔ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
1711, 16anbi12d 749 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐾 → ((∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧)) ↔ (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
185, 17riotaeqbidv 6729 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐾 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧))) = (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
196, 18mpteq12dv 4841 . . . . 5 (𝑝 = 𝐾 → (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑝) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧)))) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))))
2017reubidv 3229 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐾 → (∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧)) ↔ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
21 reueq1 3243 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑝) = 𝐵 → (∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)) ↔ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
225, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐾 → (∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)) ↔ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
2320, 22bitrd 268 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐾 → (∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧)) ↔ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
2423abbidv 2843 . . . . 5 (𝑝 = 𝐾 → {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧))} = {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))})
2519, 24reseq12d 5504 . . . 4 (𝑝 = 𝐾 → ((𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑝) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧))}) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))}))
26 df-lub 17096 . . . 4 lub = (𝑝 ∈ V ↦ ((𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑝) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧))}))
27 fvex 6314 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) ∈ V
284, 27eqeltri 2799 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
2928pwex 4953 . . . . . 6 𝒫 𝐵 ∈ V
3029mptex 6602 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))) ∈ V
3130resex 5553 . . . 4 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))}) ∈ V
3225, 26, 31fvmpt 6396 . . 3 (𝐾 ∈ V → (lub‘𝐾) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))}))
33 lubfval.u . . 3 𝑈 = (lub‘𝐾)
34 lubfval.p . . . . . . 7 (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝑥𝐵 → (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
3635riotabiia 6743 . . . . 5 (𝑥𝐵 𝜓) = (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
3736mpteq2i 4849 . . . 4 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
3834reubii 3231 . . . . 5 (∃!𝑥𝐵 𝜓 ↔ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
3938abbii 2841 . . . 4 {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓} = {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))}
4037, 39reseq12i 5501 . . 3 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))})
4132, 33, 403eqtr4g 2783 . 2 (𝐾 ∈ V → 𝑈 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}))
421, 2, 413syl 18 1 (𝜑𝑈 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  {cab 2710  wral 3014  ∃!wreu 3016  Vcvv 3304  𝒫 cpw 4266   class class class wbr 4760  cmpt 4837  cres 5220  cfv 6001  crio 6725  Basecbs 15980  lecple 16071  lubclub 17064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-lub 17096
This theorem is referenced by:  lubdm  17101  lubfun  17102  lubval  17106  join0  17260  oduglb  17261  odulub  17263
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