MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubel 17169
Description: An element of a set is less than or equal to the least upper bound of the set. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lublem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublem.l = (le‘𝐾)
lublem.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lubel ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝑆𝑆𝐵) → 𝑋 (𝑈𝑆))

Proof of Theorem lubel
StepHypRef Expression
1 clatl 17163 . . . 4 (𝐾 ∈ CLat → 𝐾 ∈ Lat)
2 ssel 3630 . . . . 5 (𝑆𝐵 → (𝑋𝑆𝑋𝐵))
32impcom 445 . . . 4 ((𝑋𝑆𝑆𝐵) → 𝑋𝐵)
4 lublem.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 lublem.u . . . . 5 𝑈 = (lub‘𝐾)
64, 5lubsn 17141 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
71, 3, 6syl2an 493 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑋𝑆𝑆𝐵)) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
873impb 1279 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝑆𝑆𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
9 snssi 4371 . . . 4 (𝑋𝑆 → {𝑋} ⊆ 𝑆)
10 lublem.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
114, 10, 5lubss 17168 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑆) → (𝑈‘{𝑋}) (𝑈𝑆))
129, 11syl3an3 1401 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑋𝑆) → (𝑈‘{𝑋}) (𝑈𝑆))
13123com23 1291 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝑆𝑆𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) (𝑈𝑆))
148, 13eqbrtrrd 4709 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝑆𝑆𝐵) → 𝑋 (𝑈𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685  cfv 5926  Basecbs 15904  lecple 15995  lubclub 16989  Latclat 17092  CLatccla 17154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-preset 16975  df-poset 16993  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-lat 17093  df-clat 17155
This theorem is referenced by:  lubun  17170  atlatmstc  34924  2polssN  35519
  Copyright terms: Public domain W3C validator