MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltweuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltweuz 12967
Description: < is a well-founded relation on any sequence of upper integers. (Contributed by Andrew Salmon, 13-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltweuz < We (ℤ𝐴)

Proof of Theorem ltweuz
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordom 7220 . . . . 5 Ord ω
2 ordwe 5879 . . . . 5 (Ord ω → E We ω)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 E We ω
4 rdgeq2 7660 . . . . . . . . 9 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) = rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))
54reseq1d 5533 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω))
6 isoeq1 6709 . . . . . . . 8 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ𝐴))))
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ𝐴))))
8 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → (ℤ𝐴) = (ℤ‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))
9 isoeq5 6713 . . . . . . . 8 ((ℤ𝐴) = (ℤ‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))))
11 0z 11589 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
1211elimel 4287 . . . . . . . 8 if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) ∈ ℤ
13 eqid 2770 . . . . . . . 8 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω)
1412, 13om2uzisoi 12960 . . . . . . 7 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))
157, 10, 14dedth2v 4280 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ𝐴)))
16 isocnv 6722 . . . . . 6 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ𝐴)) → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom < , E ((ℤ𝐴), ω))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom < , E ((ℤ𝐴), ω))
18 dmres 5560 . . . . . . . 8 dom (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) = (ω ∩ dom rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴))
19 omex 8703 . . . . . . . . 9 ω ∈ V
2019inex1 4930 . . . . . . . 8 (ω ∩ dom rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴)) ∈ V
2118, 20eqeltri 2845 . . . . . . 7 dom (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) ∈ V
22 cnvimass 5626 . . . . . . 7 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ⊆ dom (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
2321, 22ssexi 4934 . . . . . 6 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ∈ V
2423ax-gen 1869 . . . . 5 𝑦((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ∈ V
25 isowe2 6742 . . . . 5 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom < , E ((ℤ𝐴), ω) ∧ ∀𝑦((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ∈ V) → ( E We ω → < We (ℤ𝐴)))
2617, 24, 25sylancl 566 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → ( E We ω → < We (ℤ𝐴)))
273, 26mpi 20 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → < We (ℤ𝐴))
28 uzf 11890 . . . 4 :ℤ⟶𝒫 ℤ
2928fdmi 6192 . . 3 dom ℤ = ℤ
3027, 29eleq2s 2867 . 2 (𝐴 ∈ dom ℤ → < We (ℤ𝐴))
31 we0 5244 . . 3 < We ∅
32 ndmfv 6359 . . . 4 𝐴 ∈ dom ℤ → (ℤ𝐴) = ∅)
33 weeq2 5238 . . . 4 ((ℤ𝐴) = ∅ → ( < We (ℤ𝐴) ↔ < We ∅))
3432, 33syl 17 . . 3 𝐴 ∈ dom ℤ → ( < We (ℤ𝐴) ↔ < We ∅))
3531, 34mpbiri 248 . 2 𝐴 ∈ dom ℤ → < We (ℤ𝐴))
3630, 35pm2.61i 176 1 < We (ℤ𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wal 1628   = wceq 1630  wcel 2144  Vcvv 3349  cin 3720  c0 4061  ifcif 4223  𝒫 cpw 4295  cmpt 4861   E cep 5161   We wwe 5207  ccnv 5248  dom cdm 5249  cres 5251  cima 5252  Ord word 5865  cfv 6031   Isom wiso 6032  (class class class)co 6792  ωcom 7211  reccrdg 7657  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   < clt 10275  cz 11578  cuz 11887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888
This theorem is referenced by:  ltwenn  12968  ltwefz  12969  uzsinds  12993  bpolylem  14984  ltbwe  19686  dyadmax  23585  omeiunle  41245
  Copyright terms: Public domain W3C validator