Theorem lttri 10276

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lt.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lttri	⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lt.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
4		lttr 10227	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1537	1 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2103   class class class wbr 4760  ℝcr 10048   < clt 10187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-resscn 10106  ax-pre-lttrn 10124

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-ltxr 10192

This theorem is referenced by:  1lt3  11309  2lt4  11311  1lt4  11312  3lt5  11314  2lt5  11315  1lt5  11316  4lt6  11318  3lt6  11319  2lt6  11320  1lt6  11321  5lt7  11323  4lt7  11324  3lt7  11325  2lt7  11326  1lt7  11327  6lt8  11329  5lt8  11330  4lt8  11331  3lt8  11332  2lt8  11333  1lt8  11334  7lt9  11336  6lt9  11337  5lt9  11338  4lt9  11339  3lt9  11340  2lt9  11341  1lt9  11342  8lt10OLD  11344  7lt10OLD  11345  6lt10OLD  11346  5lt10OLD  11347  4lt10OLD  11348  3lt10OLD  11349  2lt10OLD  11350  1lt10OLD  11351  8lt10  11787  7lt10  11788  6lt10  11789  5lt10  11790  4lt10  11791  3lt10  11792  2lt10  11793  1lt10  11794  sincos2sgn  15044  epos  15055  ene1  15058  dvdslelem  15154  oppcbas  16500  sralem  19300  zlmlem  19988  psgnodpmr  20059  tnglem  22566  xrhmph  22868  vitalilem4  23500  pipos  24332  logneg  24454  asin1  24741  reasinsin  24743  atan1  24775  log2le1  24797  bposlem8  25136  bposlem9  25137  chebbnd1lem2  25279  chebbnd1lem3  25280  chebbnd1  25281  mulog2sumlem2  25344  pntibndlem1  25398  pntlemb  25406  pntlemk  25415  ttglem  25876  cchhllem  25887  axlowdimlem16  25957  dp2ltc  29824  sgnnbi  30837  sgnpbi  30838  signswch  30868  hgt750lem  30959  hgt750lem2  30960  logi  31848  cnndvlem1  32755  bj-minftyccb  33344  bj-pinftynminfty  33346  asindmre  33727  fdc  33773  fourierdlem94  40837  fourierdlem102  40845  fourierdlem103  40846  fourierdlem104  40847  fourierdlem112  40855  fourierdlem113  40856  fourierdlem114  40857  fouriersw  40868  etransclem23  40894