Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnval1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnval1 35935
Description: Value of a lattice translation under its co-atom. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnval1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnval1.l = (le‘𝐾)
ltrnval1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnval1.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnval1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐹𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem ltrnval1
StepHypRef Expression
1 ltrnval1.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2770 . . . 4 ((LDil‘𝐾)‘𝑊) = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
3 ltrnval1.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3ltrnldil 35923 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊))
543adant3 1125 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊))
6 ltrnval1.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 ltrnval1.l . . 3 = (le‘𝐾)
86, 7, 1, 2ldilval 35914 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐹𝑋) = 𝑋)
95, 8syld3an2 1517 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐹𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144   class class class wbr 4784  cfv 6031  Basecbs 16063  lecple 16155  LHypclh 35785  LDilcldil 35901  LTrncltrn 35902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-ldil 35905  df-ltrn 35906
This theorem is referenced by:  ltrnid  35936  ltrnatb  35938  ltrnel  35940  ltrncnvel  35943  ltrneq  35950  ltrnmwOLD  35953  cdlemc2  35994  cdlemd2  36001  cdlemg7N  36428
  Copyright terms: Public domain W3C validator