Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrniotaidvalN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrniotaidvalN 36391
Description: Value of the unique translation specified by identity value. (Contributed by NM, 25-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrniotaidval.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrniotaidval.l = (le‘𝐾)
ltrniotaidval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrniotaidval.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrniotaidval.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
ltrniotaidval.f 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃)
Assertion
Ref Expression
ltrniotaidvalN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
Distinct variable groups:   ,𝑓   𝐴,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑃,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝐹(𝑓)

Proof of Theorem ltrniotaidvalN
StepHypRef Expression
1 ltrniotaidval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 ltrniotaidval.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 ltrniotaidval.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 ltrniotaidval.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 ltrniotaidval.f . . . 4 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃)
61, 2, 3, 4, 5ltrniotaval 36389 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) = 𝑃)
763anidm23 1532 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) = 𝑃)
8 simpl 474 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
91, 2, 3, 4, 5ltrniotacl 36387 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
1093anidm23 1532 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
11 simpr 479 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
12 ltrniotaidval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
1312, 1, 2, 3, 4ltrnideq 35983 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹𝑃) = 𝑃))
148, 10, 11, 13syl3anc 1477 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹𝑃) = 𝑃))
157, 14mpbird 247 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804   I cid 5173  cres 5268  cfv 6049  crio 6774  Basecbs 16079  lecple 16170  Atomscatm 35071  HLchlt 35158  LHypclh 35791  LTrncltrn 35908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-riotaBAD 34760
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-undef 7569  df-map 8027  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-llines 35305  df-lplanes 35306  df-lvols 35307  df-lines 35308  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967
This theorem is referenced by:  dihpN  37145
  Copyright terms: Public domain W3C validator