Theorem ltrnideq 35882

Description: Property of the identity lattice translation. (Contributed by NM, 27-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnnidn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnnidn.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrnnidn.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnnidn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnnidn.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnideq	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹‘𝑃) = 𝑃))

Proof of Theorem ltrnideq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 479	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
2	1	fveq1d 6306	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹‘𝑃) = (( I ↾ 𝐵)‘𝑃))
3		simpl3l 1263	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		ltrnnidn.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		ltrnnidn.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	4, 5	atbase 34996	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
7		fvresi 6555	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑃) = 𝑃)
8	3, 6, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘𝑃) = 𝑃)
9	2, 8	eqtrd 2758	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹‘𝑃) = 𝑃)
10	9	ex 449	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → (𝐹‘𝑃) = 𝑃))
11		simpl1 1204	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		simpl2 1206	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
13		simpr 479	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
14		simpl3 1208	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
15		ltrnnidn.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
16		ltrnnidn.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
17		ltrnnidn.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
18	4, 15, 5, 16, 17	ltrnnidn 35881	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)
19	11, 12, 13, 14, 18	syl121anc 1444	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)
20	19	ex 449	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃))
21	20	necon4d 2920	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑃 → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)))
22	10, 21	impbid 202	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹‘𝑃) = 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1596   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2896   class class class wbr 4760   I cid 5127   ↾ cres 5220  ‘cfv 6001  Basecbs 15980  lecple 16071  Atomscatm 34970  HLchlt 35057  LHypclh 35690  LTrncltrn 35807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-map 7976  df-preset 17050  df-poset 17068  df-plt 17080  df-lub 17096  df-glb 17097  df-join 17098  df-meet 17099  df-p0 17161  df-p1 17162  df-lat 17168  df-clat 17230  df-oposet 34883  df-ol 34885  df-oml 34886  df-covers 34973  df-ats 34974  df-atl 35005  df-cvlat 35029  df-hlat 35058  df-lhyp 35694  df-laut 35695  df-ldil 35810  df-ltrn 35811  df-trl 35866

This theorem is referenced by:  trlid0  35883  trlnidatb  35884  ltrn2ateq  35887  cdlemd8  35912  ltrniotaidvalN  36290  cdlemkid4  36641  dia2dimlem7  36778