Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrneq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrneq 35957
Description: The equality of two translations is determined by their equality at atoms not under co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrne.l = (le‘𝐾)
ltrne.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrne.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrne.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrneq (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑇,𝑝   𝑊,𝑝
Allowed substitution hint:   (𝑝)

Proof of Theorem ltrneq
StepHypRef Expression
1 simp11 1243 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp12 1244 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → 𝐹𝑇)
3 eqid 2769 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 ltrne.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
53, 4atbase 35098 . . . . . . . . 9 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
653ad2ant2 1126 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
7 simp3 1130 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → 𝑝 𝑊)
8 ltrne.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
9 ltrne.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 ltrne.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
113, 8, 9, 10ltrnval1 35942 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 𝑊)) → (𝐹𝑝) = 𝑝)
121, 2, 6, 7, 11syl112anc 1478 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → (𝐹𝑝) = 𝑝)
13 simp13 1245 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → 𝐺𝑇)
143, 8, 9, 10ltrnval1 35942 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 𝑊)) → (𝐺𝑝) = 𝑝)
151, 13, 6, 7, 14syl112anc 1478 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → (𝐺𝑝) = 𝑝)
1612, 15eqtr4d 2806 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝))
17163expia 1112 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
18 pm2.61 183 . . . . 5 ((𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) → ((¬ 𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
1917, 18syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴) → ((¬ 𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
20 re1tbw2 1817 . . . 4 ((𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) → (¬ 𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
2119, 20impbid1 215 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴) → ((¬ 𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
2221ralbidva 3132 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ ∀𝑝𝐴 (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
234, 9, 10ltrneq2 35956 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (∀𝑝𝐴 (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) ↔ 𝐹 = 𝐺))
2422, 23bitrd 268 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1069   = wceq 1629  wcel 2143  wral 3059   class class class wbr 4783  cfv 6030  Basecbs 16070  lecple 16162  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  LHypclh 35792  LTrncltrn 35909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1071  df-tru 1632  df-fal 1635  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4572  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-id 5156  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-map 8009  df-preset 17142  df-poset 17160  df-plt 17172  df-lub 17188  df-glb 17189  df-join 17190  df-meet 17191  df-p0 17253  df-lat 17260  df-clat 17322  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913
This theorem is referenced by:  cdlemj2  36631
  Copyright terms: Public domain W3C validator