Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncvr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncvr 35941
Description: Covering property of a lattice translation. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrncvr.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrncvr.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
ltrncvr.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrncvr.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrncvr (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝐹𝑋)𝐶(𝐹𝑌)))

Proof of Theorem ltrncvr
StepHypRef Expression
1 simp1l 1239 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐾𝑉)
2 ltrncvr.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2771 . . . 4 (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4 ltrncvr.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ltrnlaut 35931 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
653adant3 1126 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
7 simp3l 1243 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
8 simp3r 1244 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
9 ltrncvr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
10 ltrncvr.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
119, 10, 3lautcvr 35900 . 2 ((𝐾𝑉 ∧ (𝐹 ∈ (LAut‘𝐾) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝐹𝑋)𝐶(𝐹𝑌)))
121, 6, 7, 8, 11syl13anc 1478 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝐹𝑋)𝐶(𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  cfv 6031  Basecbs 16064  ccvr 35071  LHypclh 35792  LAutclaut 35793  LTrncltrn 35909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-map 8011  df-plt 17166  df-covers 35075  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913
This theorem is referenced by:  ltrnatb  35945
  Copyright terms: Public domain W3C validator