Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncnvnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncnvnid 35928
Description: If a translation is different from the identity, so is its converse. (Contributed by NM, 17-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrn1o.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrn1o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrn1o.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrncnvnid (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem ltrncnvnid
StepHypRef Expression
1 simp3 1131 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
2 ltrn1o.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 ltrn1o.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 ltrn1o.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ltrn1o 35925 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
653adant3 1125 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
7 f1orel 6281 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 → Rel 𝐹)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → Rel 𝐹)
9 dfrel2 5724 . . . . . . 7 (Rel 𝐹𝐹 = 𝐹)
108, 9sylib 208 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = 𝐹)
11 cnveq 5434 . . . . . 6 (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
1210, 11sylan9req 2825 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
13 cnvresid 6108 . . . . 5 ( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵)
1412, 13syl6eq 2820 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
1514ex 397 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)))
1615necon3d 2963 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
171, 16mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942   I cid 5156  ccnv 5248  cres 5251  Rel wrel 5254  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  Basecbs 16063  HLchlt 35152  LHypclh 35785  LTrncltrn 35902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-map 8010  df-laut 35790  df-ldil 35905  df-ltrn 35906
This theorem is referenced by:  cdlemh2  36618  cdlemh  36619  cdlemkfid1N  36723
  Copyright terms: Public domain W3C validator