Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnatb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnatb 35926
Description: The lattice translation of an atom is an atom. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnatb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnatb.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnatb.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnatb.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnatb (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ltrnatb
StepHypRef Expression
1 simp3 1133 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → 𝑃𝐵)
2 ltrnatb.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 ltrnatb.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 ltrnatb.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ltrncl 35914 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
61, 52thd 255 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝑃𝐵 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐵))
7 simp1 1131 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8 simp2 1132 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → 𝐹𝑇)
9 simp1l 1240 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
10 hlop 35152 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
11 eqid 2760 . . . . . . 7 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
122, 11op0cl 34974 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
139, 10, 123syl 18 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
14 eqid 2760 . . . . . 6 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
152, 14, 3, 4ltrncvr 35922 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((0.‘𝐾) ∈ 𝐵𝑃𝐵)) → ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ↔ (𝐹‘(0.‘𝐾))( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃)))
167, 8, 13, 1, 15syl112anc 1481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ↔ (𝐹‘(0.‘𝐾))( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃)))
179, 10syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
18 simp1r 1241 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → 𝑊𝐻)
192, 3lhpbase 35787 . . . . . . . 8 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → 𝑊𝐵)
21 eqid 2760 . . . . . . . 8 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
222, 21, 11op0le 34976 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊𝐵) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)𝑊)
2317, 20, 22syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)𝑊)
242, 21, 3, 4ltrnval1 35923 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((0.‘𝐾) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹‘(0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
257, 8, 13, 23, 24syl112anc 1481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝐹‘(0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
2625breq1d 4814 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((𝐹‘(0.‘𝐾))( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃) ↔ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃)))
2716, 26bitrd 268 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ↔ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃)))
286, 27anbi12d 749 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((𝑃𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃))))
29 ltrnatb.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
302, 11, 14, 29isat 35076 . . 3 (𝐾 ∈ HL → (𝑃𝐴 ↔ (𝑃𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)))
319, 30syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝑃𝐴 ↔ (𝑃𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)))
322, 11, 14, 29isat 35076 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃))))
339, 32syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃))))
3428, 31, 333bitr4d 300 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  Basecbs 16059  lecple 16150  0.cp0 17238  OPcops 34962  ccvr 35052  Atomscatm 35053  HLchlt 35140  LHypclh 35773  LTrncltrn 35890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-map 8025  df-plt 17159  df-glb 17176  df-p0 17240  df-oposet 34966  df-ol 34968  df-oml 34969  df-covers 35056  df-ats 35057  df-hlat 35141  df-lhyp 35777  df-laut 35778  df-ldil 35893  df-ltrn 35894
This theorem is referenced by:  ltrncnvatb  35927  ltrnel  35928  ltrnat  35929
  Copyright terms: Public domain W3C validator