Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnat 35941
Description: The lattice translation of an atom is also an atom. TODO: See if this can shorten some ltrnel 35940 uses. (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l = (le‘𝐾)
ltrnel.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnel.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnel.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ltrnat
StepHypRef Expression
1 simp3 1131 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → 𝑃𝐴)
2 eqid 2770 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 ltrnel.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3atbase 35091 . . 3 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5 ltrnel.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 ltrnel.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
72, 3, 5, 6ltrnatb 35938 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))
84, 7syl3an3 1168 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))
91, 8mpbid 222 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  cfv 6031  Basecbs 16063  lecple 16155  Atomscatm 35065  HLchlt 35152  LHypclh 35785  LTrncltrn 35902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-map 8010  df-plt 17165  df-glb 17182  df-p0 17246  df-oposet 34978  df-ol 34980  df-oml 34981  df-covers 35068  df-ats 35069  df-hlat 35153  df-lhyp 35789  df-laut 35790  df-ldil 35905  df-ltrn 35906
This theorem is referenced by:  ltrncoat  35945  trlcnv  35967  trljat2  35969  trlat  35971  trlval3  35989  trlval4  35990  cdlemc3  35995  cdlemc5  35997  cdlemg2kq  36404  cdlemg9a  36434  cdlemg9  36436  cdlemg10bALTN  36438  cdlemg10c  36441  cdlemg10a  36442  cdlemg10  36443  cdlemg12a  36445  cdlemg12c  36447  cdlemg13a  36453  cdlemg17a  36463  cdlemg17g  36469  cdlemg18a  36480  cdlemg18b  36481  cdlemg18c  36482  trlcoabs2N  36524  trlcolem  36528  cdlemg42  36531  cdlemi  36622  cdlemk3  36635  cdlemk4  36636  cdlemk6  36639  cdlemk9  36641  cdlemk9bN  36642  cdlemk10  36645  cdlemksat  36648  cdlemk7  36650  cdlemk12  36652  cdlemkole  36655  cdlemk14  36656  cdlemk15  36657  cdlemk17  36660  cdlemk5u  36663  cdlemk6u  36664  cdlemkuat  36668  cdlemk7u  36672  cdlemk12u  36674  cdlemk37  36716  cdlemk39  36718  cdlemkfid1N  36723  cdlemk47  36751  cdlemk48  36752  cdlemk50  36754  cdlemk51  36755  cdlemk52  36756  cdlemm10N  36921
  Copyright terms: Public domain W3C validator