MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltp1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltp1d 10992
Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ltp1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ltp1d (𝜑𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltp1 10899 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
31, 2syl 17 1 (𝜑𝐴 < (𝐴 + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  zltp1le  11465  rpnnen1lem5  11856  rpnnen1lem5OLD  11862  fznatpl1  12433  fzonn0p1  12584  seqf1olem1  12880  seqf1olem2  12881  bernneq3  13032  expmulnbnd  13036  discr1  13040  discr  13041  bcp1nk  13144  bcpasc  13148  hashfzp1  13256  hashfun  13262  seqcoll  13286  seqcoll2  13287  o1rlimmul  14393  fsum1p  14526  climcndslem2  14626  mertenslem1  14660  fprodntriv  14716  fprod1p  14742  fprodeq0  14749  binomfallfaclem2  14815  fallfacval4  14818  sqrt2irr  15023  nno  15145  iserodd  15587  prmreclem4  15670  prmreclem5  15671  4sqlem11  15706  vdwlem6  15737  vdwlem11  15742  vdwlem12  15743  sylow1lem1  18059  efgsfo  18198  efgred  18207  telgsums  18436  srgbinomlem3  18588  icopnfcnv  22788  cnheibor  22801  pjthlem1  23254  ovolicopnf  23338  uniioombllem3  23399  dvfsumrlim  23839  plyco0  23993  vieta1lem2  24111  mtest  24203  itgulm  24207  psercnlem1  24224  psercn  24225  abelthlem2  24231  abelthlem7  24237  logcnlem4  24436  atanlogsublem  24687  birthdaylem2  24724  efrlim  24741  fsumharmonic  24783  ftalem5  24848  basellem1  24852  basellem3  24854  ppiprm  24922  chtprm  24924  chtdif  24929  ppidif  24934  chtub  24982  perfectlem2  25000  gausslemma2dlem4  25139  gausslemma2dlem6  25142  lgsquadlem2  25151  dchrisum0lem1b  25249  dchrisum0lem3  25253  pntrlog2bndlem6  25317  pntpbnd1  25320  pntpbnd2  25321  pntlemc  25329  pntlemf  25339  ostth2lem1  25352  ostth2lem3  25369  axlowdimlem16  25882  crctcshwlkn0lem3  26760  wwlksnredwwlkn  26858  wwlksext2clwwlk  27021  wwlksext2clwwlkOLD  27022  smcnlem  27680  pjhthlem1  28378  pmtrto1cl  29977  psgnfzto1stlem  29978  esumpmono  30269  oddpwdc  30544  ballotlemfc0  30682  ballotlemfcc  30683  fsum2dsub  30813  breprexp  30839  subfaclim  31296  erdsze2lem2  31312  cvmliftlem7  31399  cvmliftlem10  31402  relowlssretop  33341  poimirlem1  33540  poimirlem2  33541  poimirlem3  33542  poimirlem4  33543  poimirlem6  33545  poimirlem7  33546  poimirlem8  33547  poimirlem9  33548  poimirlem10  33549  poimirlem11  33550  poimirlem12  33551  poimirlem15  33554  poimirlem16  33555  poimirlem17  33556  poimirlem19  33558  poimirlem20  33559  poimirlem22  33561  poimirlem23  33562  poimirlem24  33563  poimirlem25  33564  poimirlem28  33567  poimirlem29  33568  poimirlem31  33570  mblfinlem2  33577  itg2addnclem2  33592  isbnd3  33713  eldioph2lem1  37640  pell14qrgapw  37757  rmygeid  37848  monoords  39825  infxr  39896  supxrunb3  39936  uzubioo  40112  limsup10exlem  40322  xlimxrre  40375  xlimpnfv  40382  ioodvbdlimc1lem1  40464  ioodvbdlimc1lem2  40465  ioodvbdlimc2lem  40467  dvnxpaek  40475  dvnmul  40476  iblspltprt  40507  itgspltprt  40513  wallispilem5  40604  stirlinglem1  40609  stirlinglem3  40611  stirlinglem5  40613  stirlinglem6  40614  stirlinglem7  40615  stirlinglem10  40618  fourierdlem11  40653  fourierdlem12  40654  fourierdlem20  40662  fourierdlem30  40672  fourierdlem50  40691  fourierdlem54  40695  fourierdlem64  40705  fourierdlem65  40706  fourierdlem76  40717  fourierdlem77  40718  fourierdlem79  40720  fourierdlem102  40743  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745  fourierdlem114  40755  etransclem46  40815  ioorrnopnxrlem  40844  caratheodorylem1  41061  vonioolem2  41216  vonicclem2  41219  smflimsuplem4  41350  perfectALTVlem2  41956  aacllem  42875
  Copyright terms: Public domain W3C validator