MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltp1 11073
Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.)
Assertion
Ref Expression
ltp1 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1
StepHypRef Expression
1 1re 10251 . 2 1 ∈ ℝ
2 0lt1 10762 . . 3 0 < 1
3 ltaddpos 10730 . . 3 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ 𝐴 < (𝐴 + 1)))
42, 3mpbii 223 . 2 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 < (𝐴 + 1))
51, 4mpan 708 1 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   < clt 10286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481
This theorem is referenced by:  lep1  11074  letrp1  11077  recp1lt1  11133  ledivp1  11137  ltp1i  11139  ltp1d  11166  sup2  11191  uzind  11681  ge0p1rp  12075  qbtwnxr  12244  xrsupsslem  12350  supxrunb1  12362  fzp1disj  12612  fzneuz  12634  fzp1nel  12637  fsequb  12988  caubnd  14317  rlim2lt  14447  o1fsum  14764  pcprendvds  15767  pcmpt  15818  iocopnst  22960  bndth  22978  ovolicc2lem3  23507  ioorcl2  23560  itg2const2  23727  reeff1olem  24419  axlowdimlem13  26054  icoreunrn  33536  poimirlem4  33744  poimirlem22  33762  mblfinlem1  33777  xrpnf  40232  limsupre3lem  40485  fourierdlem25  40870  smfresal  41519
  Copyright terms: Public domain W3C validator