MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltnrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltnrd 10209
Description: 'Less than' is irreflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ltnrd (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐴)

Proof of Theorem ltnrd
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnr 10170 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2030   class class class wbr 4685  cr 9973   < clt 10112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117
This theorem is referenced by:  zbtwnre  11824  fzonel  12522  rlimuni  14325  climuni  14327  prmreclem6  15672  ivthlem2  23267  ivthlem3  23268  iundisj  23362  ovolioo  23382  itgsplitioo  23649  iundisjf  29528  ubico  29665  iundisjfi  29683  erdszelem4  31302  poimirlem1  33540  poimirlem27  33566  limclner  40201
  Copyright terms: Public domain W3C validator