Theorem ltnle 10155

Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 11-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltnle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem ltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lenlt 10154	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
2	1	ancoms 468	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
3	2	con2bid 343	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  ℝcr 9973   < clt 10112   ≤ cle 10113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-br 4686  df-opab 4746  df-xp 5149  df-cnv 5151  df-xr 10116  df-le 10118

This theorem is referenced by:  letric  10175  ltnled  10222  leaddsub  10542  mulge0b  10931  nnnle0  11089  nn0n0n1ge2b  11397  znnnlt1  11442  uzwo  11789  qsqueeze  12070  difreicc  12342  fzp1disj  12437  fzneuz  12459  fznuz  12460  uznfz  12461  difelfznle  12492  nelfzo  12514  ssfzoulel  12602  elfzonelfzo  12610  modfzo0difsn  12782  ssnn0fi  12824  discr1  13040  facdiv  13114  bcval5  13145  ccatsymb  13400  swrdnd  13478  swrdsbslen  13494  swrdspsleq  13495  swrdccat3  13538  repswswrd  13577  cnpart  14024  absmax  14113  rlimrege0  14354  znnenlem  14984  rpnnen2lem12  14998  alzdvds  15089  algcvgblem  15337  prmndvdsfaclt  15482  pcprendvds  15592  pcdvdsb  15620  pcmpt  15643  prmunb  15665  prmreclem2  15668  prmgaplem5  15806  prmgaplem6  15807  prmlem1  15861  prmlem2  15874  lt6abl  18342  metdseq0  22704  xrhmeo  22792  ovolicc2lem3  23333  itg2seq  23554  dvne0  23819  coeeulem  24025  radcnvlt1  24217  argimgt0  24403  cxple2  24488  ressatans  24706  eldmgm  24793  basellem2  24853  issqf  24907  bpos1  25053  bposlem3  25056  bposlem6  25059  pntpbnd2  25321  ostth2lem4  25370  crctcshwlkn0  26769  crctcsh  26772  eucrctshift  27221  ltflcei  33527  poimirlem4  33543  poimirlem13  33552  poimirlem14  33553  poimirlem15  33554  poimirlem31  33570  mblfinlem1  33576  mbfposadd  33587  itgaddnclem2  33599  ftc1anclem1  33615  ftc1anclem5  33619  dvasin  33626  icccncfext  40418  stoweidlem14  40549  stoweidlem34  40569  ltnltne  41638  pfxccat3  41751  pfxccat3a  41754  nnsum4primeseven  42013  nnsum4primesevenALTV  42014  ply1mulgsumlem2  42500