Theorem ltneii 10356

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 10355	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2997	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   class class class wbr 4787  ℝcr 10141   < clt 10280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-ltxr 10285

This theorem is referenced by:  1ne2  11447  f1oun2prg  13871  geo2sum  14811  3dvds  15261  3dvdsOLD  15262  plusgndxnmulrndx  16206  basendxnmulrndx  16207  slotsbhcdif  16288  oppchomfval  16581  oppcbas  16585  rescbas  16696  rescabs  16700  odubas  17341  opprlem  18836  rmodislmod  19141  srasca  19396  sravsca  19397  opsrbaslem  19692  opsrbaslemOLD  19693  cnfldfun  19973  zlmlem  20080  zlmsca  20084  znbaslem  20101  znbaslemOLD  20102  thlbas  20257  thlle  20258  matbas  20436  matplusg  20437  tuslem  22291  setsmsbas  22500  tnglem  22664  ppiub  25150  2lgslem3  25350  2lgslem4  25352  ttgval  25976  ttglem  25977  slotsbaseefdif  26094  structvtxvallem  26130  usgrexmpldifpr  26373  upgr4cycl4dv4e  27365  konigsbergiedgw  27428  konigsberglem3  27434  konigsberglem5  27436  ex-dif  27622  ex-id  27633  ex-fv  27642  ex-mod  27648  resvbas  30172  resvplusg  30173  resvmulr  30175  hlhilslem  37748  rabren3dioph  37905  xrlexaddrp  40081  fourierdlem102  40939  fourierdlem114  40951  fouriersw  40962  nnsum4primesodd  42209  nnsum4primesoddALTV  42210  zlmodzxznm  42811  2p2ne5  43072