MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltm1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltm1d 10994
Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ltp1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ltm1d (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltm1 10901 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  1c1 9975   < clt 10112  cmin 10304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  suprzcl  11495  fzsuc2  12436  fzm1  12458  m1modnnsub1  12756  cshwidxm1  13599  fsumm1  14524  isumsplit  14616  climcndslem1  14625  bitsfzolem  15203  fldivp1  15648  4sqlem12  15707  ram0  15773  sylow1lem1  18059  dgreq0  24066  atanlogsublem  24687  birthdaylem3  24725  wilthlem1  24839  ftalem5  24848  basellem5  24856  lgsval2lem  25077  lgsqrlem2  25117  gausslemma2dlem0c  25128  lgsquadlem1  25150  lgsquadlem2  25151  pntrsumbnd2  25301  axlowdimlem16  25882  pthdlem1  26718  clwwlkel  27009  clwwlknonex2lem2  27083  xlt2addrd  29651  cvmliftlem6  31398  cvmliftlem8  31400  cvmliftlem9  31401  cvmliftlem10  31402  bcprod  31750  iooelexlt  33340  poimirlem1  33540  poimirlem2  33541  poimirlem6  33545  poimirlem7  33546  poimirlem8  33547  poimirlem12  33551  poimirlem15  33554  poimirlem16  33555  poimirlem17  33556  poimirlem19  33558  poimirlem20  33559  poimirlem21  33560  poimirlem22  33561  poimirlem23  33562  poimirlem26  33565  mettrifi  33683  irrapxlem1  37703  rmspecsqrtnq  37787  rmspecsqrtnqOLD  37788  acongeq  37867  monoords  39825  fzisoeu  39828  fzdifsuc2  39838  infleinflem2  39900  unb2ltle  39955  limsupre3lem  40282  xlimxrre  40375  xlimmnfv  40378  iblspltprt  40507  itgspltprt  40513  stoweidlem11  40546  stoweidlem14  40549  fourierdlem11  40653  fourierdlem12  40654  fourierdlem15  40657  fourierdlem41  40683  fourierdlem48  40689  fourierdlem49  40690  fourierdlem50  40691  fourierdlem79  40720  ioorrnopnxrlem  40844  iundjiun  40995  lswn0  41705  bgoldbtbndlem4  42021  m1modmmod  42641  logbpw2m1  42686
  Copyright terms: Public domain W3C validator