MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltlen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltlen 10098
Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
ltlen ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem ltlen
StepHypRef Expression
1 ltle 10086 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
2 ltne 10094 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
32ex 450 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
43adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
51, 4jcad 555 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
6 leloe 10084 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
7 ax-1 6 . . . . 5 (𝐴 < 𝐵 → (𝐵𝐴𝐴 < 𝐵))
8 df-ne 2791 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐵 = 𝐴)
9 pm2.24 121 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵))
109eqcoms 2629 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵))
118, 10syl5bi 232 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵𝐴𝐴 < 𝐵))
127, 11jaoi 394 . . . 4 ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵) → (𝐵𝐴𝐴 < 𝐵))
136, 12syl6bi 243 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 → (𝐵𝐴𝐴 < 𝐵)))
1413impd 447 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 < 𝐵))
155, 14impbid 202 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4623  cr 9895   < clt 10034  cle 10035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040
This theorem is referenced by:  ltleni  10115  ltlend  10142  nn0lt2  11400  rpneg  11823  fzofzim  12471  elfznelfzob  12531  hashsdom  13126  cnpart  13930  oddprmgt2  15354  chfacfisf  20599  chfacfisfcpmat  20600  ang180lem2  24474  mumullem2  24840  lgsneg  24980  lgsdilem  24983  lgsdirprm  24990  axlowdimlem16  25771  unitdivcld  29771  poimirlem24  33104  itg2addnclem  33132  fzopredsuc  40660  iccpartiltu  40686  icceuelpartlem  40699  difmodm1lt  41635
  Copyright terms: Public domain W3C validator