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Theorem ltflcei 33527
Description: Theorem to move the floor function across a strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
ltflcei ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))

Proof of Theorem ltflcei
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flltp1 12641 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
21ad3antrrr 766 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
3 renegcl 10382 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
4 flval 12635 . . . . . . . . 9 (-𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐵) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))))
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐵) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))))
65ad3antlr 767 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → (⌊‘-𝐵) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))))
7 fllep1 12642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
87adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
9 reflcl 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
10 peano2re 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
1211adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
13 letr 10169 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)))
1412, 13mpd3an3 1465 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)))
158, 14mpan2d 710 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)))
16 leneg 10569 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1) ↔ -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
1711, 16sylan2 490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1) ↔ -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
1815, 17sylibd 229 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 → -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
1918ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 → -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
20 ltneg 10566 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ -𝐵 < -(⌊‘𝐴)))
219, 20sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ -𝐵 < -(⌊‘𝐴)))
229recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
23 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
24 negdi2 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((⌊‘𝐴) + 1) = (-(⌊‘𝐴) − 1))
2524oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1) = ((-(⌊‘𝐴) − 1) + 1))
26 negcl 10319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⌊‘𝐴) ∈ ℂ → -(⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
27 npcan 10328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-(⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((-(⌊‘𝐴) − 1) + 1) = -(⌊‘𝐴))
2826, 27sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((-(⌊‘𝐴) − 1) + 1) = -(⌊‘𝐴))
2925, 28eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(⌊‘𝐴) = (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))
3022, 23, 29sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ → -(⌊‘𝐴) = (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))
3130breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐵 < -(⌊‘𝐴) ↔ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐵 < -(⌊‘𝐴) ↔ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
3321, 32bitrd 268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
3433biimpd 219 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 → -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
3519, 34anim12d 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴 ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → (-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))))
3635ancomsd 469 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) < 𝐵𝐵𝐴) → (-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))))
3736impl 649 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → (-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
38 flcl 12636 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3938peano2zd 11523 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ)
4039znegcld 11522 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → -((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ)
41 rebtwnz 11825 . . . . . . . . . . 11 (-𝐵 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1)))
423, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1)))
43 breq1 4688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → (𝑥 ≤ -𝐵 ↔ -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
44 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → (𝑥 + 1) = (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))
4544breq2d 4697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → (-𝐵 < (𝑥 + 1) ↔ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
4643, 45anbi12d 747 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → ((𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1)) ↔ (-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))))
4746riota2 6673 . . . . . . . . . 10 ((-((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) → ((-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
4840, 42, 47syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
4948ad2antrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → ((-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
5037, 49mpbid 222 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1))
516, 50eqtrd 2685 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → (⌊‘-𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1))
5238zcnd 11521 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
53 peano2cn 10246 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐴) ∈ ℂ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℂ)
5452, 53syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℂ)
553flcld 12639 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐵) ∈ ℤ)
5655zcnd 11521 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐵) ∈ ℂ)
57 negcon2 10372 . . . . . . . 8 ((((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℂ ∧ (⌊‘-𝐵) ∈ ℂ) → (((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘-𝐵) ↔ (⌊‘-𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
5854, 56, 57syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘-𝐵) ↔ (⌊‘-𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
5958ad2antrr 762 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → (((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘-𝐵) ↔ (⌊‘-𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
6051, 59mpbird 247 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → ((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘-𝐵))
612, 60breqtrd 4711 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵))
6261ex 449 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → (𝐵𝐴𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
63 ltnle 10155 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
64 ceige 12684 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ -(⌊‘-𝐵))
6564adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ -(⌊‘-𝐵))
66 ceicl 12682 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐵) ∈ ℤ)
6766zred 11520 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐵) ∈ ℝ)
6867adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -(⌊‘-𝐵) ∈ ℝ)
69 ltletr 10167 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ -(⌊‘-𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 ≤ -(⌊‘-𝐵)) → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
7068, 69mpd3an3 1465 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 ≤ -(⌊‘-𝐵)) → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
7165, 70mpan2d 710 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
7263, 71sylbird 250 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
7372adantr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
7462, 73pm2.61d 170 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵))
75 flval 12635 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
7675ad3antrrr 766 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (⌊‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
77 ceim1l 12686 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵)
7877adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵)
79 peano2rem 10386 . . . . . . . . . . . . . 14 (-(⌊‘-𝐵) ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ)
8067, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ)
8180adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ)
82 ltleletr 10168 . . . . . . . . . . . . 13 (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵𝐵𝐴) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
83823com13 1289 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵𝐵𝐴) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
8481, 83mpd3an3 1465 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵𝐵𝐴) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
8578, 84mpand 711 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
8666zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐵) ∈ ℂ)
87 npcan 10328 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-(⌊‘-𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1) = -(⌊‘-𝐵))
8886, 23, 87sylancl 695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1) = -(⌊‘-𝐵))
8988breq2d 4697 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1) ↔ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
9089biimprd 238 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 < -(⌊‘-𝐵) → 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)))
9190adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < -(⌊‘-𝐵) → 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)))
9285, 91anim12d 585 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1))))
9392ancomsd 469 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < -(⌊‘-𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1))))
9493impl 649 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)))
95 peano2zm 11458 . . . . . . . . . 10 (-(⌊‘-𝐵) ∈ ℤ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℤ)
9666, 95syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℤ)
97 rebtwnz 11825 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
98 breq1 4688 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (-(⌊‘-𝐵) − 1) → (𝑥𝐴 ↔ (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
99 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (-(⌊‘-𝐵) − 1) → (𝑥 + 1) = ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1))
10099breq2d 4697 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (-(⌊‘-𝐵) − 1) → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)))
10198, 100anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (-(⌊‘-𝐵) − 1) → ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ ((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1))))
102101riota2 6673 . . . . . . . . 9 (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = (-(⌊‘-𝐵) − 1)))
10396, 97, 102syl2anr 494 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = (-(⌊‘-𝐵) − 1)))
104103ad2antrr 762 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = (-(⌊‘-𝐵) − 1)))
10594, 104mpbid 222 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = (-(⌊‘-𝐵) − 1))
10676, 105eqtrd 2685 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (⌊‘𝐴) = (-(⌊‘-𝐵) − 1))
10777ad3antlr 767 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵)
108106, 107eqbrtrd 4707 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (⌊‘𝐴) < 𝐵)
109108ex 449 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) → (𝐵𝐴 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
110 flle 12640 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
111110adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
1129adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
113 lelttr 10166 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
1141133coml 1292 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
115112, 114mpd3an3 1465 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
116111, 115mpand 711 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
11763, 116sylbird 250 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵𝐴 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
118117adantr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) → (¬ 𝐵𝐴 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
119109, 118pm2.61d 170 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) → (⌊‘𝐴) < 𝐵)
12074, 119impbida 895 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  ∃!wreu 2943   class class class wbr 4685  cfv 5926  crio 6650  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305  cz 11415  cfl 12631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fl 12633
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