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Theorem ltexprlem4 9846
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
Assertion
Ref Expression
ltexprlem4 (𝐵P → (𝑥𝐶 → ∃𝑧(𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem4
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prnmax 9802 . . . . . . . . 9 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑤𝐵 (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)
2 df-rex 2915 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝐵 (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 ↔ ∃𝑤(𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
31, 2sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑤(𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
4 ltrelnq 9733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 <Q ⊆ (Q × Q)
54brel 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q𝑤Q))
65simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
7 addnqf 9755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 +Q :(Q × Q)⟶Q
87fdmi 6039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 dom +Q = (Q × Q)
9 0nnq 9731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ¬ ∅ ∈ Q
108, 9ndmovrcl 6805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦Q𝑥Q))
116, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (𝑦Q𝑥Q))
12 ltaddnq 9781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦Q𝑥Q) → 𝑦 <Q (𝑦 +Q 𝑥))
13 ltsonq 9776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 <Q Or Q
1413, 4sotri 5511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 <Q (𝑦 +Q 𝑥) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → 𝑦 <Q 𝑤)
1512, 14sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦Q𝑥Q) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → 𝑦 <Q 𝑤)
1611, 15mpancom 702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤𝑦 <Q 𝑤)
174brel 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 <Q 𝑤 → (𝑦Q𝑤Q))
1817simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 <Q 𝑤𝑤Q)
19 ltexnq 9782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤Q → (𝑦 <Q 𝑤 ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤))
2019biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤Q → (𝑦 <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤))
2118, 20mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
2216, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
23 eqcom 2627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ (𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
2423exbii 1772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
2522, 24sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧))
2625ancri 574 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
2726anim2i 592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → (𝑤𝐵 ∧ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
28 an12 837 . . . . . . . . . . . 12 ((∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ (𝑤𝐵 ∧ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
2927, 28sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
30 19.41v 1912 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
3129, 30sylibr 224 . . . . . . . . . 10 ((𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
3231eximi 1760 . . . . . . . . 9 (∃𝑤(𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑤𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
33 excom 2040 . . . . . . . . 9 (∃𝑧𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ ∃𝑤𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
3432, 33sylibr 224 . . . . . . . 8 (∃𝑤(𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑧𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
35 ovex 6663 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 +Q 𝑧) ∈ V
36 eleq1 2687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → (𝑤𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
37 breq2 4648 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 ↔ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
3836, 37anbi12d 746 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → ((𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) ↔ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧))))
3935, 38ceqsexv 3237 . . . . . . . . . 10 (∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
40 ltanq 9778 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦Q → (𝑥 <Q 𝑧 ↔ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
418, 4, 9, 40ndmovordi 6810 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧)
4241anim2i 592 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))
4339, 42sylbi 207 . . . . . . . . 9 (∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))
4443eximi 1760 . . . . . . . 8 (∃𝑧𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) → ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))
453, 34, 443syl 18 . . . . . . 7 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))
4645anim2i 592 . . . . . 6 ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
4746an12s 842 . . . . 5 ((𝐵P ∧ (¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
48 19.42v 1916 . . . . 5 (∃𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)) ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
4947, 48sylibr 224 . . . 4 ((𝐵P ∧ (¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → ∃𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
5049ex 450 . . 3 (𝐵P → ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))))
5150eximdv 1844 . 2 (𝐵P → (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑦𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))))
52 ltexprlem.1 . . 3 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
5352abeq2i 2733 . 2 (𝑥𝐶 ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
54 vex 3198 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
55 oveq2 6643 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 +Q 𝑥) = (𝑦 +Q 𝑧))
5655eleq1d 2684 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
5756anbi2d 739 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
5857exbidv 1848 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
5954, 58, 52elab2 3348 . . . . . 6 (𝑧𝐶 ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
6059anbi1i 730 . . . . 5 ((𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧) ↔ (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
61 19.41v 1912 . . . . 5 (∃𝑦((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
62 anass 680 . . . . . 6 (((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
6362exbii 1772 . . . . 5 (∃𝑦((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
6460, 61, 633bitr2i 288 . . . 4 ((𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
6564exbii 1772 . . 3 (∃𝑧(𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑧𝑦𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
66 excom 2040 . . 3 (∃𝑦𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)) ↔ ∃𝑧𝑦𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
6765, 66bitr4i 267 . 2 (∃𝑧(𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
6851, 53, 673imtr4g 285 1 (𝐵P → (𝑥𝐶 → ∃𝑧(𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  {cab 2606  wrex 2910   class class class wbr 4644   × cxp 5102  (class class class)co 6635  Qcnq 9659   +Q cplq 9662   <Q cltq 9665  Pcnp 9666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-omul 7550  df-er 7727  df-ni 9679  df-pli 9680  df-mi 9681  df-lti 9682  df-plpq 9715  df-mpq 9716  df-ltpq 9717  df-enq 9718  df-nq 9719  df-erq 9720  df-plq 9721  df-mq 9722  df-1nq 9723  df-ltnq 9725  df-np 9788
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  9847
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