MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltexprlem3 9898
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
Assertion
Ref Expression
ltexprlem3 (𝐵P → (𝑥𝐶 → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem3
StepHypRef Expression
1 elprnq 9851 . . . . . . . . . 10 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
2 addnqf 9808 . . . . . . . . . . . . 13 +Q :(Q × Q)⟶Q
32fdmi 6090 . . . . . . . . . . . 12 dom +Q = (Q × Q)
4 0nnq 9784 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ∅ ∈ Q
53, 4ndmovrcl 6862 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦Q𝑥Q))
65simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q𝑦Q)
7 ltanq 9831 . . . . . . . . . 10 (𝑦Q → (𝑧 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑦 +Q 𝑥)))
81, 6, 73syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑦 +Q 𝑥)))
9 prcdnq 9853 . . . . . . . . 9 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑦 +Q 𝑥) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
108, 9sylbid 230 . . . . . . . 8 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
1110impancom 455 . . . . . . 7 ((𝐵P𝑧 <Q 𝑥) → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
1211anim2d 588 . . . . . 6 ((𝐵P𝑧 <Q 𝑥) → ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
1312eximdv 1886 . . . . 5 ((𝐵P𝑧 <Q 𝑥) → (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
14 ltexprlem.1 . . . . . 6 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
1514abeq2i 2764 . . . . 5 (𝑥𝐶 ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
16 vex 3234 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
17 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 +Q 𝑥) = (𝑦 +Q 𝑧))
1817eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
1918anbi2d 740 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
2019exbidv 1890 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
2116, 20, 14elab2 3386 . . . . 5 (𝑧𝐶 ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
2213, 15, 213imtr4g 285 . . . 4 ((𝐵P𝑧 <Q 𝑥) → (𝑥𝐶𝑧𝐶))
2322ex 449 . . 3 (𝐵P → (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑥𝐶𝑧𝐶)))
2423com23 86 . 2 (𝐵P → (𝑥𝐶 → (𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐶)))
2524alrimdv 1897 1 (𝐵P → (𝑥𝐶 → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  wal 1521   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  {cab 2637   class class class wbr 4685   × cxp 5141  (class class class)co 6690  Qcnq 9712   +Q cplq 9715   <Q cltq 9718  Pcnp 9719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-ni 9732  df-pli 9733  df-mi 9734  df-lti 9735  df-plpq 9768  df-ltpq 9770  df-enq 9771  df-nq 9772  df-erq 9773  df-plq 9774  df-1nq 9776  df-ltnq 9778  df-np 9841
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  9900
  Copyright terms: Public domain W3C validator