Theorem ltexprlem3 9898

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem3	⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnq 9851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
2		addnqf 9808	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
3	2	fdmi 6090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
4		0nnq 9784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
5	3, 4	ndmovrcl 6862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
6	5	simpld 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → 𝑦 ∈ Q)
7		ltanq 9831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑧 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑦 +Q 𝑥)))
8	1, 6, 7	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑦 +Q 𝑥)))
9		prcdnq 9853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑦 +Q 𝑥) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
10	8, 9	sylbid 230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
11	10	impancom 455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑧 <Q 𝑥) → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
12	11	anim2d 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑧 <Q 𝑥) → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
13	12	eximdv 1886	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑧 <Q 𝑥) → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
14		ltexprlem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
15	14	abeq2i 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
16		vex 3234	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
17		oveq2 6698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 +Q 𝑥) = (𝑦 +Q 𝑧))
18	17	eleq1d 2715	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
19	18	anbi2d 740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
20	19	exbidv 1890	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
21	16, 20, 14	elab2 3386	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
22	13, 15, 21	3imtr4g 285	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑧 <Q 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐶))
23	22	ex 449	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐶)))
24	23	com23 86	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → (𝑧 <Q 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝐶)))
25	24	alrimdv 1897	1 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383  ∀wal 1521   = wceq 1523  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030  {cab 2637   class class class wbr 4685   × cxp 5141  (class class class)co 6690  Qcnq 9712   +_Q cplq 9715   <_Q cltq 9718  Pcnp 9719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-ni 9732  df-pli 9733  df-mi 9734  df-lti 9735  df-plpq 9768  df-ltpq 9770  df-enq 9771  df-nq 9772  df-erq 9773  df-plq 9774  df-1nq 9776  df-ltnq 9778  df-np 9841

This theorem is referenced by:  ltexprlem5  9900