Theorem ltaddrpd 12107

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 12069	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 565	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 4784  (class class class)co 6792  ℝcr 10136   + caddc 10140   < clt 10275  ℝ⁺crp 12034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-ltxr 10280  df-rp 12035

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  12108  xov1plusxeqvd  12524  isumltss  14786  effsumlt  15046  tanhlt1  15095  4sqlem12  15866  vdwlem1  15891  prmgaplem7  15967  chfacfscmul0  20882  chfacfpmmul0  20886  nlmvscnlem2  22708  nlmvscnlem1  22709  iccntr  22843  icccmplem2  22845  reconnlem2  22849  lebnumii  22984  ipcnlem2  23261  ipcnlem1  23262  ivthlem2  23439  ovolgelb  23467  ovollb2lem  23475  itg2monolem3  23738  dvferm1lem  23966  lhop1lem  23995  lhop  23998  dvcnvrelem1  23999  dvcnvrelem2  24000  pserdvlem1  24400  pserdv  24402  lgamgulmlem2  24976  lgamgulmlem3  24977  lgamucov  24984  perfectlem2  25175  bposlem2  25230  pntibndlem2  25500  pntlemb  25506  pntlem3  25518  tpr2rico  30292  omssubaddlem  30695  fibp1  30797  heicant  33770  itg2addnc  33789  rrnequiv  33959  pellfundex  37969  rmspecfund  37993  acongeq  38069  jm3.1lem2  38104  oddfl  40001  infrpge  40077  xralrple2  40080  xrralrecnnle  40112  iooiinicc  40281  iooiinioc  40295  fsumnncl  40315  climinf  40350  lptre2pt  40384  ioodvbdlimc1lem2  40659  wallispilem4  40796  dirkertrigeqlem3  40828  dirkercncflem2  40832  fourierdlem63  40897  fourierdlem65  40899  fourierdlem75  40909  fourierdlem79  40913  fouriersw  40959  etransclem35  40997  qndenserrnbllem  41025  omeiunltfirp  41247  hoidmvlelem1  41323  hoidmvlelem3  41325  hoiqssbllem3  41352  iinhoiicc  41402  iunhoiioo  41404  vonioolem2  41409  vonicclem1  41411  preimaleiinlt  41445  smfmullem3  41514  perfectALTVlem2  42149